Welche Bedingungen müssen a,b,c,d erfüllen, damit der Graph von ax^3+bx^2+cx+d einen Sattelpunkt besitzt?

Question

Aufgabe:

Welche Bedingungen müssen die Parameter a, b, c, d ∈ R erfüllen, damit der Graph von
f(x) = ax³ + bx² + cx + d einen Sattelpunkt besitzt?

Wie genau muss ich hier vorgehen?

Answer 1

Ich bin gerade am überlegen ob nicht nur kubische Funktionen der Form

f(x) = a·(x + u)^3 + v

einen Sattelpunkt haben. Wenn das so ist, dann wäre es ja nicht weiter schwer. Ausmultiplizieren und schauen was sich für a, b, c und d ergibt.

Answer 2

Zunächst einmal muss a ≠ 0 sein, damit der Grad der Funktion 3 ist. Bis einschließlich Grad 2 sind die Graphen Geraden oder Parabeln, die keine Wendepunkte, geschweige denn Sattelpunkte, haben. Bei Grad 3 gibt es immer genau eine Wendestelle, dies ist die Lösung der Gleichung f '' (x) = 0. Zwei mal ableiten, einsetzen und auflösen liefert x = -b / (3a). Ein Sattelpunkt liegt genau dann vor, wenn die Steigung des Graphen an dieser Wendestelle genau 0 ist. Dies führt zu der Gleichung f ' ( -b / (3a) ) = 0. Einsetzen und Multiplizieren mit (-3 a) liefert eine Gleichung mit a, b, c. Diese Gleichung erhält man auch über die Bedingung, dass die quadratische Ableitungsfunktion genau eine Nullstelle haben muss (Diskriminante). Der Parameter d kommt nicht vor, was aber auch anschaulich klar sein sollte.