Zeigen Sie induktiv: Für alle n ∈ ℕ0 gilt an < 15 und an+1 > an

Question

Ein Patient nimmt täglich 5 mg eines Langzeit-Medikaments zu sich. Im Körper werden täglich 40 Prozent des Medikaments abgebaut. Es soll geklärt werden, welche Menge des Medikaments sich nach langer Zeit noch im Körper befindet. Es bezeichne a_n; n ∈ ℕ0 die Menge des Medikaments (in mg) nach n Tagen. Es ist also a₀ = 5.

a) Finden Sie eine rekursive Formel, d. h. eine Gleichung, die den Zusammenhang zwischen a_n+1 und a_n beschreibt.
b) Zeigen Sie induktiv: Für alle n ∈ ℕ₀ gilt a_n < 15 und a_n+1 > a_n

Answer 1

Wenn man an einem Tag die Menge a_n im Körper hat, dann sind davon am nächsten Tag

noch 0,6*a_n übrig (denn 40% werden ja abgebaut und es kommt eine neue

Pille dazu, also  a_n+1 = 0,6*a_n + 5.

b)  a_n < 15 ist für n=1 jedenfalls erfüllt.  Ind. vor:  a_n < 15

==>  a_n+1 = 0,6*a_n + 5 < 0,6*15 + 5 = 14 < 15