Zeigen Sie: Für jedes n ∈ ℕ und k ∈ ℕ_{0} gilt

Question

Hallo, Leute. Wir sollen in einer Aufgabe durch eine vollständige Induktion zeigen, dass gilt:

Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) und \( k \in \mathbb{N}_{0} \) gilt
\( \sum \limits_{l=0}^{k}\left(\begin{array}{c} l+n-1 \\ l \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} k+n \\ k \end{array}\right) \)

Meine Lösung dazu lautet:

Aber irgendwie mache ich beim Beweis etwas falsch, kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Aber irgendwie mache ich beim Beweis etwas falsch

Wenn Du Induktion über n machen willst, ist Deine Induktionsbehauptung falsch.

Gruß Mathhilf

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Wie meinst du das, ich habe das jetzt nicht ganz verstanden :D wie würde es denn richtig aussehen?

Answer 1

Wie ich sehe, hast du komponentenweise mit Vektoren gerechnet, aber Binomialkoeffizenten, die wie Vektoren aussehen, sind keine, mit denen du komponentenweise rechnen kannst.

Z.B. 1 über 0 + 2 über 0 = 3 über 0 würde nach deiner Rechnung gehen

Und 1 über 0 , 2 über 0 und 3 über 0 sind jeweils 1.

Aber 1+1=2 und nicht 1, also geht das nicht, wie du gerechnet hast. Wenn, dann müsstest du nach der Definition der Binomialkoeffizenten gehen, also dass

die Summe von l=0 bis k von (l+n+1 l)^T= die Summe von l=0 bis k von (l+n+1)!/((n+1)!*l!) =

(k+n)!/(n!*k!) gilt

Wie immer keine Garantie für meine Antwort