Aufgabe:
Problem/Ansatz:
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Aufgabe 2 (Faltungen II, \( 3+3+4 \) Punkte):
Die durch \( \pi_{k}^{\lambda}:=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, k \in \mathbb{N}_{0} \), für festes \( \lambda>0 \) definierte Folge \( \pi^{\lambda}:=\left(\pi_{k}^{\lambda}\right)_{k \in \mathbb{N}_{0}} \) heißt PoissonVerteilung zum Parameter \( \lambda \).
(a) Zeigen Sie, dass \( \pi^{\lambda}=\left(\pi_{k}^{\lambda}\right)_{k \in \mathbb{N}_{0}} \) für jedes \( \lambda \in \mathbb{Q} \) mit \( \lambda>0 \) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf \( \mathbb{N}_{0} \) ist und berechnen Sie den Erwartungswert.
(b) Zeigen Sie, dass
\( \forall \lambda, \nu \in \mathbb{Q} \text { mit } \lambda, \nu>0: \quad \pi^{\lambda+\nu}=\pi^{\lambda} * \pi^{\nu} \)
(c) Berechnen Sie die erzeugenden Funktion von \( \pi^{\lambda} \).
