Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n ∈ Ν gilt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n ∈ Ν gilt:

3 Teiler n(n²-1)

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang:  Sei n = 0

3 Teiler 0(0²-1) = 0

Induktionsannahme: Wir nehmen, dass für ein beliebiges aber festes n ∈ Ν gilt: dir folgende Ausdruck 3 Teiler n(n²-1)

Induktionsschluss: Zu zeigen: n+1  =>    3 Teiler (n+1) ((n+1)²-1)

Es gilt:

3 Teiler (n+1 (n² + 2n) )

3 Teiler (n³ + 3n² +2n)

3 Teiler n(n² + 3n + 2)

3 Teiler n ( n+2 ) (n+1)

Danach war bei uns Schluss:  Im prinzip müssen wir auf (n+1)³ - (n+1) kommen Also zu zeigen n+1

Comments

n(n^2-1) = n(n+1)*(n-1)

Es sind 3 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.

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Die gleiche Frage hast du heute bereits gestellt: https://www.mathelounge.de/990991.

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wusste nicht, wie ich die andere lösche

Answer 1

n(n²-1) = n(n+1)*(n-1)

Es sind 3 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.

Die sollen aber nicht den Satz möglichst elegant beweisen. Die Aufgabe wurde als Übungsaufgabe für das Beweisverfahren der vollständigen Induktion gestellt.

In Induktionsvoraussetzung ist 3|n(n²-n), also 3|n³-n

Behauptet wird nun 3|(n+1)((n+1)²-1), also 3|n³+3n²+2n.

Wenn man jetzt die Terme n³-n und n³+3n²+2n. vergleicht wird man feststellen, dass der zweite Term aus dem ersten Term durch Addition von 3n²+3n (bzw. durch Addition von 3(n²+1) entsteht.

n³-n ist laut Induktionsvoraussetzung durch 3 teilbar, und 3n²+3n ist dies (warum wohl?) ebenfalls.

Damit ist die Summe beider Terme auch durch 3 teilbar.

Answer 2

IV: \(n(n^2-1)\equiv 0\) mod \(3\).

IS: \(n+2\equiv n-1\) mod \(3\), folglich

\((n+1)n(n+2)\equiv (n+1)n(n-1)=n(n^2-1)\stackrel {IV}{\equiv} 0\) mod \(3\), q.e.d.

Comments

Wird dem Fragesteller zwar nicht helfen - aber eine schöne Variante.