Aloha :)
Du kannst das ohne vollständige Induktion mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes beweisen:$$7^n-1=(6+1)^n-1=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}6^k\cdot1^{n-k}-1=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}6^k-1$$$$\phantom{7^n-1}=\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}6^k+\underbrace{\binom{n}{0}6^0}_{=1}-1=\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}6^k$$Da alle Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) ganze Zahlen sind, ist jeder Summand durch \(6\) teilbar.
Ansonsten geht es bei deinem Induktionsschritt etwas durcheinander. Dabei weißt du ja bereits, dass \((7^n-1)\) durch \(6\) teilbar ist, und musst damit zeigen, dass auch \((7^{n+1}-1)\) durch \(6\) teilbar ist:
$$\frac{7^{n+1}-1}{6}=\frac{7\cdot7^n-1}{6}=\frac{(6+1)\cdot7^n-1}{6}=\frac{6\cdot7^n+7^n-1}{6}=\underbrace{\frac{6\cdot7^n}{6}}_{=7^n\in\mathbb Z}+\underbrace{\frac{7^n-1}{6}}_{\in\mathbb Z}$$Die beiden Brüche am Ende entpuppen sich als ganze Zahlen, damit ist auch \((7^{n+1}-1)\) durch \(6\) teilbar.
