\(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4} . \)
Bei vollst. Induktion erst mal prüfen für n=1
\(\sum \limits_{k=1}^{1} k^{3}=\frac{1^{2} \cdot(1+1)^{2}}{4} \)
gibt
\( 1^3 = \frac{1^{2} \cdot 2^{2}}{4} \) stimmt also .
Angenommen es stimmt für ein n, also Induktionsannahme:
\(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4} \)
Dann zeigen, dass es auch für n+1 gilt , also zeigen, dass daraus folgt
\(\sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{3}=\frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} . \)
Also nachrechnen:
\(\sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{3} \)
\(=\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3} + (n+1)^3 \)
Induktionsannahme verwenden gibt
\(= \frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} + (n+1)^3 \)
Jetzt musst du nur noch nachrechnen, dass dies das
gleiche ist wie \(\frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} \) .
b) entsprechend: n=1 . Da ist 1^2 + 1 = 2 also gerade.
Induktionsannahme n^2 + n gerade.
zeigen: (n+1)^2 + (n+1) ist gerade:
(n+1)^2 + (n+1) = n^2 +2n+1 +n+1= n^2 + n + 2(n+1)
n^2 + n gerade wegen Ind. ann.
2(n+1) Vielfaches von 2, also gerade.
Summe zweier geraden ist gerade. q.e.d.
