Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt: n^2 + n + 2 ist gerade

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
n² + n + 2 ist gerade.

Wie mache ich das am besten?

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen:\(\quad A(n)=n^2+n+2\quad\text{ist gerade für alle }n\in\mathbb N\)

Verankerung bei \(n=1\):$$A(1)=1^2+1+2=4\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):

Wir können davon ausgehen, dass \(A(n)\) gerade ist und betrachten nun:$$A(n+1)=(n+1)^2+(n+1)+2$$$$\phantom{A(n+1)}=(\pink{n^2}+2n\pink{+1})\pink+(\pink n\pink{+1})+2$$$$\phantom{A(n+1)}=(\pink{n^2+n+2})+2n+2$$$$\phantom{A(n+1)}=\pink{A(n)}+2\cdot(n+1)\quad\checkmark$$\(A(n)\) ist gerade, also ohne Rest durch \(2\) teilbar. Ebenso ist \(2\cdot(n+1)\) ohne Rest durch \(2\) teilbar. Damit ist ihre Summe ebenfalls ohne Rest durch \(2\) teilbar und daher gerade.

Answer 2

Für n=0 erfüllt.

Angenommen es gilt für ein n, also n² + n + 2 ist gerade.

==>   (n+1)² + (n+1) + 2 =  n^2+2n + 1  + n+1 + 2

                                   =  n^2+n + 2  + 2n + 2

                                   = ( n^2+n + 2 ) + 2(n + 1)

Also als Summe zweier gerader Zahlen auch gerade.

Answer 3

Induktionsanfang ist klar, musst du selber erkennen können, setze einfach n=1 und gucke, ob die dar

Induktionsschritt musst du annehmen.

Induktionsschritt:

Setze n=n+1

(n+1)^2+(n+1)+2

= n^2+2n+1+1+n+2

= (n^2+n+2)+2n+2

Wir wissen nach der Induktionsannahme , dass die erste Klammer gerade ist, nun müssen wir zeigen, dass die restlichen Summanden auch gerade sind. Das können wir einfach zeigen, indem wir prüfen, ob nach der Teilung der restlichen Summanden durch 2 eine ganze Zahl herauskommt, was ja eine Eigenschaft einer geraden Zahl ist.

=> (2n+2)/2 = n+1 und für alle n kommt da eine ganze Zahl raus. Also ist die Folge auch für n=n+1 gerade.