Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ0 gilt:

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ₀ gilt:

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{(3k+1)} \) = \( \frac{(n+1)(3n+2)}{2} \)

Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Kann mir jemand helfen?

Comments

Eine alternative Berechnung ohne Induktion:
\(\begin{aligned}\sum_{k=0}^n(3k+1)&=\sum_{k=0}^n\big(3(n-k)+1\big)=\sum_{k=0}^n(3n+2)-\sum_{k=0}^n(3k+1)\\\implies2\sum_{k=0}^n(3k+1)&=\sum_{k=0}^n(3n+2)=(n+1){\cdot}(3n+2).\\\end{aligned}\)

Answer 1

Hallo,

Du kannst es direkt zeigen, wenn Du die Gauß'sche Summenformel verwenden darfst:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=0}^{n}{(3k+1)}\\ = 3\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n}k}_{=\frac{n}{2}(n+1)} + \sum\limits_{k=0}^{n}1\\ = 3 \cdot \frac{n}{2}(n+1) + (n+1)\\ = \frac{1}{2}(3n+2)(n+1)$$... oder über Induktion. Das geht so:

Für \(n=0\) ist es richtig:$$\sum\limits_{k=0}^{n}(3\cdot 0 + 1) = \frac{(0+1)(3\cdot 0 + 2)}{2} = 1 \space \checkmark$$Der Induktionsschritt für \(n\) nach \(n+1\):$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (3k+1)&= \sum\limits_{k=0}^{n} (3k+1) + 3(n+1) + 1 \\ &= \frac{1}{2}(n+1)(3n + 2) + 3n + 4 \\&= \frac{1}{2}(3n^2 + 5n +2+6n+8)\\&= \frac{1}{2}(3n^2 + 5n + 6n+10) \\&=\frac{1}{2}(n(3n + 5) + 2(3n+5)) \\&= \frac{1}{2}(3n+5)(n+2) \\ &= \frac{1}{2}(3{\color{blue}(n+1)}+2)({\color{blue}(n+1)}+1) \\&\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner