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Aufgabe:

Für festes m, n ∈ ℕ0 definiere man \(s_n^{(m)} \coloneqq \sum \limits_{k=1}^{n} k^m\) .


(i) Beweisen Sie nun, dass für beliebige p, n ∈ ℕ0 gilt:


\(\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)} = (n+1)^{p+1} -1\)


Hinweis: Wählen Sie p ∈ ℕ0 fest und führen Sie eine vollständige Induktion über n durch.
Denken Sie außerdem an den Binomischen Lehrsatz!



(ii) Berechnen Sie Darstellungsformeln von sn(0), sn(1) und sn(2) unter Verwendung von Teil (i).





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\(\LaTeX\) wird gerendert, wenn du es in \( und \) einschließt.

Der direkte Beweis wäre einfacher, aber es war ja so verlangt.

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Wählen Sie p ∈ ℕ0 fest und führen Sie eine vollständige Induktion über n durch:

Nach den Ind.anfang musst du also nur noch zeigen, dass aus

\(\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)} = (n+1)^{p+1} -1\)

für ein gedachtes n , die Formel auch für n+1 folgt , also

\(\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n+1}^{(m)} = (n+2)^{p+1} -1\).

Also etwa so anfangen

\(\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)}\)

\(=\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (s_{n}^{(m)}+(n+1)^m )\)

\(=\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)}+\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m \)

Für die erste Summe die Ind.annahme einsetzen gibt

\(   = (n+1)^{p+1} -1+\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m \)   #

und jetzt mal vom Ergebnis ausgehen, es müsste geben: \(  (n+2)^{p+1} -1\)

Da ist der Tipp mit dem binomi. Satz hilfreich:

\(  (n+2)^{p+1} -1   =   ((n+1)+1)^{p+1} -1\)

\( = \sum \limits_{m=0}^{p+1} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m \cdot 1^{p+1-m}   -1 \)

\( = \sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m  + \begin{pmatrix} p+1\\p+1 \end{pmatrix} (n+1)^{p+1} -1 \)

\( = \sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m + (n+1)^{p+1}  -1 \)

und das nun mit  # vergleichen.  Bingo !

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