Wählen Sie p ∈ ℕ0 fest und führen Sie eine vollständige Induktion über n durch:
Nach den Ind.anfang musst du also nur noch zeigen, dass aus
\(\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)} = (n+1)^{p+1} -1\)
für ein gedachtes n , die Formel auch für n+1 folgt , also
\(\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n+1}^{(m)} = (n+2)^{p+1} -1\).
Also etwa so anfangen
\(\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)}\)
\(=\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (s_{n}^{(m)}+(n+1)^m )\)
\(=\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)}+\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m \)
Für die erste Summe die Ind.annahme einsetzen gibt
\( = (n+1)^{p+1} -1+\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m \) #
und jetzt mal vom Ergebnis ausgehen, es müsste geben: \( (n+2)^{p+1} -1\)
Da ist der Tipp mit dem binomi. Satz hilfreich:
\( (n+2)^{p+1} -1 = ((n+1)+1)^{p+1} -1\)
\( = \sum \limits_{m=0}^{p+1} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m \cdot 1^{p+1-m} -1 \)
\( = \sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m + \begin{pmatrix} p+1\\p+1 \end{pmatrix} (n+1)^{p+1} -1 \)
\( = \sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m + (n+1)^{p+1} -1 \)
und das nun mit # vergleichen. Bingo !
