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Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge:$$x_{n+1}=\frac{x_n}{4}+1\quad;\quad x_0=1$$
a) Zeigen Sie induktiv, dass xn < (4 / 3) für alle n ∈ N.
Wegen \(x_0=1<\frac43\) ist die Verankerung bei \(n=0\) gegeben.
Im Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Behauptung \(x_n<\frac43\) für das aktuelle \(n\) gilt und folgern daraus die Gültigkeit der Behauptung auch für das folgende Glied mit \((n+1)\)$$x_n<\frac43\implies\frac{x_n}{4}<\frac13\implies\frac{x_n}{4}+1<1+\frac13\implies x_{n+1}<\frac43\quad\checkmark$$Damit gilt \((x_n<\frac43)\) für alle \(n\in\mathbb N_0\).
b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von (xn).
Wegen \((x_n<\frac43)\) gilt auch \((-x_n>-\frac43)\), sodass$$x_{n+1}-x_n=\left(\frac{x_n}{4}+1\right)-x_n=1-\frac34\,x_n=1+\frac34(-x_n)>1+\frac43\cdot\left(-\frac43\right)=0$$Daher ist \(x_{n+1}>x_n\) und die Folge wächst streng monoton.
c) Zeigen Sie, dass (xn) konvergent ist.
Die Folge ist monoton und beschränkt, denn: \(1=x_0\le x_n<\frac43\).
Da jede monotone beschränkte Folge konvergiert, gilt das auch auf unsere Folge \((x_n)\).
d) Bestimmen Sie den Grenzwert von (xn).
Der Grenzwert sei \(x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}\), dann gilt:$$x=\frac x4+1\implies4x=x+4\implies 3x=4\implies x=\frac43$$Der Grenzwert der Folge ist \(x=\frac43\).
