Bestimmen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der angegebenen Gleichungen.

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der angegebenen Gleichungen.

(a) z^4 =1/81
(b) (z − 1)^3 = −64/27*i

Problem/Ansatz:

Hallo. Ich weiß, dass es bei der a) 4 komplexe Lösungen und bei der b) 3 komplexe Lösungen gibt. Jedoch weiß ich nicht, wie man die komplexen Lösungen angeben kann. Danke für die Hilfe.

Comments

Tipp: z⁴ = a⁴ ist äquivalent zu 0 = z⁴ - a⁴ = (z² - a²)·(z² + a²) = (z - a)·(z + a)·(z² + a²).

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Hilft mir das aber alle komplexen Lösungen herauszufinden? Blicke da gerade nicht durch :(

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Jetzt gilt es noch, z - a = 0 ∨ z + a = 0 ∨ z² + a² = 0 zu lösen.

Answer 1

\(z^4 = \frac{1}{81} \)

\(z^4 -\frac{1}{81}=0 \)

3.Binom:

\((z^2 -\frac{1}{9})*(z^2 +\frac{1}{9})=0 \)

Satz vom Nullpodukt:

1.)\((z^2 -\frac{1}{9})=0\)

3.Binom:

\((z -\frac{1}{3})*(z+\frac{1}{3})=0\)

\(z₁=\frac{1}{3}\)

\(z₂=-\frac{1}{3}\)

2.)\((z^2 +\frac{1}{9})=0\)

\(z^2 =-\frac{1}{9}=\frac{1}{9}*i^2\)   weil   \(i^2=-1\)

\(z₃=\frac{1}{3}*i\)

\(z₄=-\frac{1}{3}*i\)

Comments

Oh mein Gott Dankeschön!