Bestimme alle reellen Lösungen für die Gleichungen

Question

Aufgabe:

(c)
\( \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1} \)
(d)
\( \lambda \cdot y-\lambda \cdot x^{2}=0, \)
wobei \( x \) und \( y \) Variablen sind und \( \lambda \) ein Parameter. Welche Kombinationen von \( x \) und \( y \) lösen die Gleichung?

Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei beiden aufgaben nicht weiter.

Bei c war mein Ansatz wie folgt:

\( \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1} \)
\( \sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x-1}=0 \)
\( \left(x^{2}-1\right)^{\frac{1}{2}}-(x-1)^{\frac{1}{2}}=0 \)

Jedoch komme ich nicht weiter.

Bei d bin ich komplett verloren, ohne jeglichen Ansatz…

Answer 1

Hallo,

c)

x-1≥0 → x≥1

\( \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1}~~~~~|(...)^2 \)

\(x^2-1=x-1\)

usw.

Reelle Lösung: x=1

d)

\(\lambda \cdot y-\lambda \cdot x^{2}=0\)

\(\lambda \cdot( y- x^{2})=0\)

Für \(\lambda=0\) können x und y beliebige Werte annehmen.

Für \(\lambda\ne0\) gilt \(y=x^2\).

Answer 2

\(\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1} \)

\({x^{2}-1}={x-1} \)

\({x^{2}}={x} \)

\({x^{2}}-{x}=0 \)

\(x₁=0∨x₂=1\)

Probe mit Einsetzen: Es ist nur \(x₂=1 \)  gültig.

Answer 3

Quadrieren:

x^2-1 = x-1y

x^2-x =0

x(x-1) =0

x = 0 v x=1

Lösung überprüfen, weil Quadrieren keien Äquivalenzumformung ist

x= 0 entfällt als Lösung

Die Gleichung ist in R für x = 0 nicht definiert.

d)

L*y-L*x^2 =0

L*(y-x^2) = 0| :L , L ≠0

y-x^2 =0

x^2 =y

x= +-√y