Wie lautet der Konvergenzradius

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{((-1)^n*(2^n+1))/n *x^n} \)

Answer 1

Betrachte \(  \frac{ | a_n| }{ | a_{n+1}|} = \frac{ \frac{ 2^{n} +1}{n}}{\frac{ 2^{n+1} +1}{n} }  \)

\(  = \frac{ n +1}{n}  \cdot \frac{ 2^{n} +1}{2^{n+1}+1}  \)

hat für n gegen unendlich den Grenzwert 0,5 = Konv.rad.

Comments

Kann man auch das Wurzelkriteriun anwenden oder wie funktioniert des mit dem Grenzwert?

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\(= \frac{ n +1}{n}  \cdot \frac{ 2^{n} +1}{2^{n+1}+1} =\frac{ n +1}{n}  \cdot \frac{ 1 + \frac{1}{2^{n}} }{2 + \frac{1}{2^{n+1}} } \) 

So klarer ?

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Ist der Radius nicht 1/Grenzwert

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Schau mal dort.

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

Kommt ja drauf an, ob du a_n/a_n+1 oder den Kehrwert nimmst.

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Wieso muss man das (-1)^n nicht berücksichtigen?

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Ich komm auf (0+1) *(1+2/2+1) = 1

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\(  \lim\limits_{n \to \infty} \frac{ n +1}{n}  \cdot \frac{ 1 + \frac{1}{2^{n}} }{2 + \frac{1}{2^{n+1}} } = 1 \cdot \frac{1+0}{2+0} = 0,5\)

Wieso muss man das (-1)^n nicht berücksichtigen?

Es geht nur um die Beträge.

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Und wie wäre das Verhalten an den Rändern? Divergenz?

Answer 2

Der Koeffizienz \(a_n = (-1)^n\frac{2^n+1}{n}\) enthält als am stärksten wachsenden Term die Potenz \(2^n\). Das schreit nach Wurzelkriterium: (Beachte: \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] n = 1\))

$$\frac 1{\sqrt{|a_n|}} = \frac{\sqrt[n] n}{\sqrt[n]{2^n + 1}}= \frac 12 \cdot \frac{\sqrt[n] n}{\sqrt[n]{1 + \frac 1{2^n} }}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 12$$

Der Konvergenzradius beträgt also \(\frac 12\).

Comments

Und wie wäre das Verhalten an den Rändern? Divergenz?

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Hallo hallo543,

du musst nur \(x=\pm \frac12\) einsetzen.

Für \(x=\frac12\) bekommst du eine konvergente Reihe per Leibniz-Kriterium.

Für \(x=-\frac12\) herrscht Divergenz, da du die Reihe nach unten durch die divergente harmonische Reihe \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1n\) abschätzen kannst.