Wie lautet der Konvergenzradius von der Funktion f mit f(x) = sin(x)/x?

Question

Ich habe demnächst eine Präsentation über Reihen. Ich soll zu diesem Thema auch ein Übungsblatt erstellen. Ich wollte hierzu ein Integral von 0,3 bis 1 von sin(x)/x nehmen. Ich möchte aber gerne die Summation und Integration vertauschen. Ich weiß, dass man das nicht einfach so machen kann.

Frage : Wie ermittle ich den Konvergenzradius dieser Funktion?

Ich habe das Integral schon berechnet und es kam was richtiges raus, aber ob ich es so machen dürfte weiß ich nicht.

Danke.

Comments

Hallo
eine Funktion hat keinen Konvergenzradius, nur eine Reihe. Was deine Funktion mit Reihen zu tun hat, sehe ich nicht. Entwickelst du die Funktion um eine Stelle (welche?) in eine Taylorreihe? Also sag genauer, was du machst.
Gruß lul

---

Ich möchte die Funktion f(x) = sin(x)/x als eine Taylorreihe schreiben, um damit ein bestimmtes Integral zu lösen. Ich möchte an der Stelle a = 1 entwickeln. Ich weiß aber nicht welchen Konvegenzradius diese Reihe hat.

---

Die Reihe des Sinus um x_0=0 ist bekannt. Damit hast du die Reihe von sin(x)/x um x_0=0.  Davon kannst du den Konvergenzradius berechnen.

---

Hallo

 sin(x)/x an einer Stelle zu entwickeln, an der sin(x) und cos(x) ja nur genähert bekannt sind  also um x=1 ist sehr ungünstig. Da die Reihe für sin(x) um x=0 mit x anfängt, kannst du für alle x ≠0 durch x kürzen, und hast dann einen Konvergenzradius, der weit über dein Integrationsintervall reicht, und mehr brauchst du ja nicht.

Gruß lul

---

HINWEIS: In dieser Antwort wurde bei der Taylor-Reihe um \(a=0\) entwickelt. Gefragt war \(a=1\).

Wie lautet der Konvergenzradius von der Funktion f mit f(x) = sin(x)/x?

die Taylorreihe von \(\frac{\sin(x)}{x}\) lässt sich direkt aus der Reihendarstellung der Sinus-Funktion herleiten:$$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}}$$ Den Konvergenzradius bestimmst du mit Eulers Konvergenzradius-Formel:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right \rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{(-1)^n\frac{x^{2^n}}{(2n+1)!}}{(-1)^{n+1}\frac{x^{2(n+1)}}{(2(n+1)+1)!}}\right \rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{(2(n+1)+1)!\cdot x^{2n}}{(2n+1)!x^{2(n+1)}}\right \rvert$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{(2n+3)!\cdot x^{2n}}{(2n+1)!\cdot x^{2n+2}}\right \rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{(2n+3)!\cdot x^{2n}}{(2n+1)!\cdot x^{2n}\cdot x^2}\right \rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!\cdot x^2}\right \rvert$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{2 (n + 1) (2 n + 3)}{x^2}\right \rvert=\infty$$ Beachte, dass \(x\) unabhängig vom Grenzwert ist und somit auch als Konstante vor den Limes-Operator als Faktor stehen könnte.

---

Entwicklungsstelle soll a=1 sein.

---

Das habe ich nicht gelesen!

Answer 1

a=1 als Entwicklungsstelle zu nehmen, ist hier nicht sinnvoll. Du möchtest doch dein Integral von f mit einer Taylorreihe annähern. Und wenn du das für a=1 machst, hast du sehr viele unschöne Sinus/Kosinus-Ausdrücke in deinem Näherungspolynom. Ich deute das mal nur an:
$$ f(1)=\frac{\sin(1)}{1} $$

$$f'(1)=\frac{\cos(1)\cdot 1-\sin(1)}{1^2} $$
Wie du siehst erhältst du wieder Ausdrücke, welche für eine Näherung nicht klug sind, da Sinus und Kosinus ja auch nur eine Potenzreihe sind. Mach es deshalb bei a=0.