Zeigen Sie induktiv, dass xn (4 / 3) für alle n ∈ N.

Question

Aufgabe:

Die Folge (x_n) sei rekursiv definiert durch:

x₀ = 1 und x_n+1 = (x_n / 4) +1 

a) Zeigen Sie induktiv, dass x_n < (4 / 3)  für alle n ∈ N.

b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von (x_n).

c) Zeigen Sie, dass (x_n) konvergent ist.

d) Bestimmen Sie den Grenzwert von (x_n).

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich war leider letzte Woche krank und kam mit dem Stoff nicht so hinterher.

Dankesehr im Voraus

Comments

Ihr habt doch nicht erst seit letzter Woche Induktionsbeweise. Fang mal damit an.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge:$$x_{n+1}=\frac{x_n}{4}+1\quad;\quad x_0=1$$

a) Zeigen Sie induktiv, dass xn < (4 / 3)  für alle n ∈ N.

Wegen $x_0=1<\frac43$ ist die Verankerung bei $n=0$ gegeben.

Im Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Behauptung $x_n<\frac43$ für das aktuelle $n$ gilt und folgern daraus die Gültigkeit der Behauptung auch für das folgende Glied mit $(n+1)$$$x_n<\frac43\implies\frac{x_n}{4}<\frac13\implies\frac{x_n}{4}+1<1+\frac13\implies x_{n+1}<\frac43\quad\checkmark$$Damit gilt $(x_n<\frac43)$ für alle $n\in\mathbb N_0$.

b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von (xn).

Wegen $(x_n<\frac43)$ gilt auch $(-x_n>-\frac43)$, sodass$$x_{n+1}-x_n=\left(\frac{x_n}{4}+1\right)-x_n=1-\frac34\,x_n=1+\frac34(-x_n)>1+\frac43\cdot\left(-\frac43\right)=0$$Daher ist $x_{n+1}>x_n$ und die Folge wächst streng monoton.

c) Zeigen Sie, dass (xn) konvergent ist.

Die Folge ist monoton und beschränkt, denn: $1=x_0\le x_n<\frac43$.

Da jede monotone beschränkte Folge konvergiert, gilt das auch auf unsere Folge $(x_n)$.

d) Bestimmen Sie den Grenzwert von (xn).

Der Grenzwert sei $x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$, dann gilt:$$x=\frac x4+1\implies4x=x+4\implies 3x=4\implies x=\frac43$$Der Grenzwert der Folge ist $x=\frac43$.

Answer 2

Hallo

1. Induktion x₁<4/3  jetzt zeige dass aus x_n<4/3 folgt x_n+1<4/3 das ist wirklich leicht

2. benutze 1. um zu zeigen x_n+1-x_n>0 ed.h. x_n+1>x_n

3. eine monoton wachsende , nach oben beschränkte Folge konvergiert

4. xn und xn+1 konvergieren gegen denselben GW g also setze g für xn und xn+1 in die Rekursionsgleichung ein und bestimme daraus g

Gruß lul