Zeigen Sie, dass die Relation ∼“ eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Aufgabe: Seien A und B Mengen. Falls es eine Bijektion A → B gibt, so schreiben
wir A ∼ B. Zeigen Sie, dass die Relation ∼“ eine Äquivalenzrelation ist.

Problem/Ansatz: ich verstehe leider nicht wie man diese Aufgabe löst

Comments

Die Selbstabbildung A→A die jedes Element auf sich selbst abbildet ist bijektiv, also A~A

Wenn A~B dann existiert eine Bijektion A→B. Deren Umkehrabbildung ist eine Bijektion B→A, also B~A

Wenn A~B und B~C, dann ... Also A~C

Answer 1

Du musst drei Eigenschaften der Relation beweisen:

1. reflexiv. Also überlege, ob jede Menge A mit sich selbst in der Relation steht.

Dazu müsste es geben eine Bijektion A → A. Die gibt es in der Tat, es ist z.B.

die Identität eine solche.

2. symmetrisch: Also prüfe:   A ∼ B ==>   B ∼ A.

Etwa so: A ∼ B ==> Es gibt eine Bijektion A → B

Bijektionen haben Umkehrabbildungen, also gibt

es auch eine Bijektion B → A.

3. transitiv: Probiere mal selbst und benutze:

Verkettungen von Bijektionen sind Bijektionen.