Stetigkeit von Abbildungen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Stetigkeit.

(i) \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{Re}(z)}{1+|z|} & \text { für } z \neq 0 \\ 0 & \text { für } z=0\end{array}\right. \)
(ii) \( g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} & \text { für } z \neq 0 \\ 0 & \text { für } z=0\end{array}\right. \)
(iii) \( u: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{Re}^{2}(z)}{|z|} & \text { für } z \neq 0 \\ 0 & \text { für } z=0\end{array}\right. \)
(iv) \( v: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{Re}^{2}(z)}{|z|^{2}} & \text { für } z \neq 0 \\ 0 & \text { für } z=0\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Kann mir wer erklaren wie ich bei Komplexen Zahlen die Stetitigkeit uberprufe. Habe leider kein Plan.

Answer 1

Das geht mit Folgen oder mit der ε-δ Definition.

Bei (i) etwa mit Folgen so:

Für z≠0 ist alles stetig nach den gängigen Sätzen.

Für z=0. Sei (z_n)_n∈ℕ eine Folge, die gegen 0 konvergiert.

Dann gilt für alle n∈ℕ \( \frac{\operatorname{Re}(z_n)}{1+|z_n|} \in \mathbb{R} \)

und für n gegen unendlich geht der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 1,

also geht der Bruch gegen 0 und das ist ja gerade f(0). Also f auch stetig in 0.

Und damit auf ganz ℂ.

ii)  Geht zunächst analog, aber betrachte für z=0 die Folge (z_n)_n∈ℕ

mit Grenzwert 0 gegeben durch \(  z_n= \frac{1}{n}+\frac{1}{n}\cdot i  \)

Dann ist \(  Re(z_n)= \frac{1}{n}  \) und  \(  |z_n|= \frac{\sqrt{2}}{n}  \)

Somit ist \( \frac{\operatorname{Re}(z_n)}{|z_n|} = \frac{\frac{1}{n} }{ \frac{\sqrt{2}}{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

also ist auch der Grenzwert für n gegen unendlich \(  \frac{1}{\sqrt{2}} \)

und somit nicht gleich g(0). Also g nicht stetig in 0.