Wie viele Karos durchläuft eine Billardkugel in einem Rechteck wenn sie diagonal durch jedes Karo geht?

Question

Aufgabe: Die einsame Billardkugel

Untersuche verschiedene Rechtecke, die du auf Karopapier zeichnest.

1) Eine Kugel startet an einer Ecke im 45° Winkel.

2) Sie rollt immer geradeaus, und zwar diagonal durch jedes Karo. Stösst die Kugel an den Rand, geht sie im rechten Winkel weg.

3) Sie stoppt, wenn sie eine Ecke des Rechteckes erreicht.

Mach das Experiment mit verschiedenen Rechtecken und zähle jedes Mal die Anzahl durchlaufender Karos.

Problem/Ansatz:

Teiler, Vielfache, Formel

Mehrere Fälle untersuchen, Nach Gesetzmässigkeit suchen, Phänomene ordnen

Kann mir jemand weiter Helfen, ich habe zwar Denkansätze gefunden weiss aber nicht weiter...

Comments

Es wird genau das verlangt, was im letzten Satz der Aufgabe steht. Was ist Dein Problem dabei?

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Okay, weiss aber nicht genau ob dies wirklich reicht für Mathematik ziemlich einfache Lösung...

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Meine Frage war das, was oben links vom Fragezeichen steht.

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Die eigentliche Frage ist doch: ist das Verhältnis der beiden Seitenlängen des Rechtecks eine rationale Zahl oder darf sie auch reell sein?

Answer 1

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Hallo,

probier doch ein wenig herum.

In meinem obigen Beispiel 4 mal 8 Kästchen, 8 werden durchlaufen.

Oder 4 mal 6 Kästchen:

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12 Kästchen werden durchlaufen.

Wenn ich von dem 4×6 Rechteck 2 nebeneinander und 3 übereinander zeiche, sieht die Bahn der Kugel so aus:

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6•2=4•3=12

:-)

Comments

Meinst du das sei die ganze Aufgabe also muss ich einfach ein bisschen experimentieren? Das reicht?

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Zumindest ist das die unter 3 genannte Aufgabe.

Vermutlich soll dann noch ein Zusammenhang zwischen den drei Zahlen gefunden werden.

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Und was ist der Zusammenhang?

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Ich habe gerade Fehler in meiner Antwort korrigiert. A und V waren Blödsinn.

Und was ist der Zusammenhang?

Hast du denn schon ein paar Rechtecke gezeichnnet und ausgezählt?

Z.B. 12 mal 8

Answer 2

Vermutung:

Wenn das Rechteck drei Karos in einer Richtung hat und n Karos in der anderen Richtung, dann ist die Anzahl durchlaufener Karos = (3*n-1-(n-1)*(-1)^(n-1))/2

Comments

(3*n-1-(n-1)*(-1)^(n-1))/2

Ich habe eine einfachere Vermutung.

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Meine Antwort basiert auf meinem Verständnis der Kugelbewegung, siehe die grünen Linien unter der Antwort von Werner-Salomon.

Answer 3

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge.

Wenn die Seitenlängen des Rechtecks jeweils einer ganzzahligen Anzahl der quadratischen Karos entsprechen, dann ist die Anzahl der durchlaufenden Karos gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Seitenlängen.

Gruß Werner

Comments

Ich bin nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstehe:

Rechteck mit 2*3 Karos: kgV = 6, Anzahl durchlaufener Karos: 3

Rechteck mit 4*3 Karos: kgV = 12, Anzahl durchlaufener Karos: 7

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Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass jeder Durchlauf eines Karos zählt. Und zwar auch dann, wenn ein Karo mehr als einmal durchlaufen wird.

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Ich auch. Sieben Karos:

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Rechteck mit 2*3 Karos: kgV = 6, Anzahl durchlaufener Karos: 3

Wie kommst Du hier auf 3 durchlaufende Karos?

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Ich auch. Sieben Karos:

Erstaunlich wie unterschiedlich das Verständnis dieser Frage ausfällt ;-)

In meiner Vorstellung hat die Kugel einen Durchmesser von 0!

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So komme ich auf drei durchlaufene Karos:

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So komme ich auf drei durchlaufene Karos

Der Durchmesser Deiner Kugel ist gleich der Kantenlänge des Karos.

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Vielleicht bin ich irregeführt vom Schachspiel, wo der Läufer auch nur auf Feldern steht und nicht auf deren Rändern, und keinen Durchmesser von null hat. Die grünen Linien entsprechen den Zügen eines Läufers.