Verständinisproblem Abbildungen und Mengen

Question

Aufgabe:

Vorgegeben sei die Potenzmenge
Ω := P({1, 2, 3, 4, 5})
der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5} sowie die Abbildung
X : Ω → R, A 7→ X(A) := (5 über |A|)

4. Geben Sie die Urbildmenge X−1
(S) der Menge S := {1, 2, 3} an.

Lösung: X^-1(S) = {∅, M}

5. Wieviele Elemente hat die Menge X−1
({5}) ?

Lösung: |X^-1({5})| = 10

6. Wieviele Elemente hat die Menge X−1
({10}) = 20 ?

Lösung: |X^-1({10})| = 20

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand erklären, wie man auf diese Werte kommt. Für mich macht keinen Sinn, dass z.B alle objekte aus der Menge M auf 1 abbilden (Das Urbild bei Aufgabe 4) . Das ist doch einfach falsch, oder?

Comments

Für mich macht keinen Sinn, dass z.B alle objekte aus der Menge M auf 1 abbilden

Das wird doch nirgendwo behauptet.

Andererseits ist wegen

$$ X\left(M\right) = \begin{pmatrix} 5\\\left|M\right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} = 1 $$ die Aussage vielleicht doch klarer als du denkst. Schließlich geht es ja nicht darum, was \(X\) mit den Elementen von \(M\) macht, sondern auf was \(X\) die Menge \(M\) selbst abbildet.

Answer 1

4. Geben Sie die Urbildmenge X−1
(S) der Menge S := {1, 2, 3} an.

Lösung: X^-1(S) = {∅, M}

Es ist ja  X(A) := (5 über |A|)

Du brauchst also eine Menge mit n Elementen für

die gilt   (5 über |A|)  muss einer der Werte 1,2,3 sein.

(5 über 0) = 1   , also ist jede Menge mit 0 Elementen im Urbild,
                          das wäre die leere Menge

(5 über 1) = 5  , aber 5 nicht in S

(5 über 2) = 10  , aber 10 nicht in S

(5 über 3) = 10    , aber 10 nicht in S

(5 über 4) = 5  , aber 5 nicht in S

(5 über 5) = 1  , also ist jede Menge mit 0 Elementen im Urbild,
                          das wäre die  Menge M selbst.

Deshalb ist die Lösung richtig.