Fläche einer zusammengesetzten Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right), & x \leq 3 \\ x^{4}+b x, & x \in(3,5) \\ -\frac{1}{\cos (\pi x)} & , \quad x=5 \\ \sqrt{x-1}, & x>5\end{array}\right. \)

Berechnen Sie \( \int \limits_{1}^{10} f(x) d x \).

Problem/Ansatz:

An sich ist diese Aufgabe ja nicht schwer, aber ich hänge dabei die Fläche der Sinusfunktion für den Bereich [1;3] auszurechnen. Stammfunktion bilden → -\( \frac{2}{π} \) *cos(\( \frac{π}{2} \) *x) und dann eben die Grenzen einsetzen und subtrahieren. Das Problem ist aber, dass es das 3-fache oder 1-fache von \( \frac{π}{2} \) ist, bei dem der Cosinus schließlich 0 ist und somit auch die Fläche. Aber die darf ja nicht null sein. Hab ich einen Fehler gemacht oder muss man da einen Trick anwenden?

Comments

Fläche einer zusammengesetzten Funktion

Die Funktion hat keine Fläche.

Answer 1

Aloha :)

Zur Berechnung des Integrals musst du dieses in Teilintegrale entsprechend der Definitionsintervalle der Funktion \(f(x)\) aufteilen:$$I=\int\limits_{1}^{10}f(x)\,dx$$$$\phantom I=\int\limits_1^3\sin\left(\frac\pi2x\right)dx+\int\limits_{3}^5(x^4+bx)\,dx+\int\limits_5^5\left(-\frac{1}{\cos(\pi x)}\right)\,dx+\int\limits_{5}^{10}\sqrt{x-1}\,dx$$$$\phantom I=\left[-\frac2\pi\cos\left(\frac\pi2x\right)\right]_1^3+\left[\frac{x^5}{5}+\frac12bx^2\right]_3^5+0+\left[\frac23(x-1)^{\frac32}\right]_5^{10}$$$$\phantom I=0+\left(\frac{5^5-3^5}{5}+\frac{25-9}{2}b\right)+0+\frac23\left((\sqrt9)^3-(\sqrt4)^3\right)$$$$\phantom I=\left(\frac{2882}{5}+8b\right)+\frac23\cdot19$$$$\phantom I=8b+\frac{8836}{15}$$

Answer 2

Du sollst ein Integral ausrechnen.

Du sollst keine Fläche ausrechnen.

bei dem der Cosinus schließlich 0 ist

Ja.

und somit auch die Fläche

Nein.

Aber du sollst ein Integral ausrechnen.

Du sollst keine Fläche ausrechnen.

muss man da einen Trick anwenden?

Der Trick ist, einfach dass verdammte Integral auszurechnen und sich keine Gedanken über irgendwelche Flächen zu machen.