Hallo,
ich gehe mal davon aus, dass \(\lambda^d\) das Lebesgue-Maß auf \((\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))\) meint.
Sei \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\) beschränkt. Dann ist \( D := \sup_{x,y\in A} |x-y| < \infty. \)
Sei \(x=(x_1, \dots, x_d)\in A.\). Dann ist \(A \subseteq \prod_{k=1}^d[x_k - D, x_k + D +\frac1n) \) für alle \(n\in\mathbb{N}\),
womit \(\lambda^d(A) \leq \prod_{k=1}^d (2D+\frac1n) \overset{n\to\infty}{\rightarrow} 2^dD^d < \infty \).
Bei ii) haben wir \( X = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_d(0,n)\) mit \(\mu(B_d(0,n))< \infty\), da \(B_d(0,n)\in\mathcal{B}(X)\) beschränkt ist.