Fur jedes ¨ b ∈ R sei [(0, b)] = {(x, y) ∈ R 2 | y = x + b} eine Teilmenge des R 2 .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Für jedes \( b \in \mathbb{R} \) sei
\( [(0, b)]=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=x+b\right\} \)
eine Teilmenge des \( \mathbb{R}^{2} \).
a) Zeigen Sie, dass die Familie der Teilmengen \( [(0, b)] \) über alle \( b \in \mathbb{R} \) eine Partition des \( \mathbb{R}^{2} \) bilden, also dass
\( \mathbb{R}^{2}=\uplus_{b \in \mathbb{R}}[(0, b)] \)
gilt.
b) Liefert die Familie die Mengen \( [(m, b)]=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=m x+b\right\} \) iber alle Paare \( (m, b) \in \mathbb{R}^{2} \) ebenfalls eine sinnvolle Partition des \( \mathbb{R}^{2} \) ? Begrinden Sie Ihre Antwort.
c) Wir setzen für \( (x, y) \in[(0, b)]: d([(x, y)])=d([(0, b)])=\frac{\sqrt{2 b^{2}}}{2} \) und definieren die Relation \( R \) durch
\( \left[\left(x_{1}, y_{1}\right)\right] R\left[\left(x_{2}, y_{2}\right)\right] \Leftrightarrow d\left(\left[\left(x_{1}, y_{1}\right)\right]\right) \leq d\left(\left[\left(x_{2}, y_{2}\right)\right]\right) . \)
Ist \( R \) eine partielle Ordnung? Belegen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Ich komme wirklich nicht weiter und finde keine Lösung. Ihr würdet mir sehr helfen mit Lösungsvorschlägen und Tipps

Answer 1

y=x+b ist eine Gerade. Verändert man den Wert von b, erhält man eine parallele Gerade. Wenn sich der Wert von b stufenlos ändert, überdecken diese Geraden die gesamte xy-Ebene!

Du kannst ja mal annehmen, dass es einen Punkt (x|y) der Ebene gibt, der auf keiner dieser Geraden liegt. Diese Annahme lässt sich durch Berechnung des erforderlichen b aus x und y widerlegen.

Comments

Wie soll ich einen Punkt annehmen der nicht in der Gerade liegt obwohl es schon von allen Überdeckt wird

---

Was ich dir im ersten Teil meiner Antwort geschrieben habe war lediglich eine (hoffentlich verständliche) Beschreibung der Situation. Ich nehme an, dass du das nicht einfach nur um- bzw. beschreiben, sondern mathematisch exakt BEWEISEN sollst?

Da musst du schon etwas investieren. Ein von mir angeregter indirekter Beweis wäre eine Möglichkeit. Du kannst es natürlich auch anders machen.

---

Könnte ich zb einmal x+b = x+b für Reflexivität beweisen. Dann die Symetrie und Transitivität?