Wie löst man solche rekursiv definierten Folgen?

Question

Aufgabe:

$$\text{Zeigen Sie, dass die rekursive Folge }a_{n+1}\ = \ 2-\sqrt{4-2a_{n}}\ \text{mit}\ a_{0} \ \in (0,2) \text{monoton fallend gegen 0 konvergiert.}$$

Problem/Ansatz:

Wie löst man solche rekursiv definierten Folgen?

Answer 1

Man kann damit anfangen, dass mal potentielle Grenzwerte bestimmt:

Wenn \(\lim_{n \to \infty}a_n=:a\) existiert, dann gilt natürlich auch \(a_{n+1} \to a\) und

$$a_{n+1}=2-\sqrt{4-2a_n} \Rightarrow a=2-\sqrt{4-2a} \Rightarrow (a-2)^2=4-2a\\\quad \Rightarrow a^2-4a+4=4-2a \Rightarrow a=0 \text{ oder } a=2$$

Wir zeigen jetzt: Wenn \(a_n \in (0,2)\) dann gilt: \(0<a_{n+1}<a_n\).

$$a_{n+1}=2-\sqrt{4-2a_n}\;\frac{2+\sqrt{4-2a_n}}{2+\sqrt{4-2a_n}}=\frac{2a_n}{2+\sqrt{4-2a_n}}<a_n$$

Wenn wir also die Iteration mit einem \(a_0 \in (0,2)\) starten, folgt induktiv, dass die Folge \((a_n)\) monton fallend ist und nach unten durch 0 beschränkt ist. Daher ist sie konvervent.

Da wir nun wissen, dass der Grenzwert existiert, folgt mit der Vorüberlegung: \(\lim_{n \to \infty} a_n=0\)

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.