zentraler Grenzwertsatz und schwaches Gesetzes der großen Zahlen

Question

wie löse ich folgende Aufgabe? Danke!

Aufgabe
(a) Zeigen Sie mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes
\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{-n} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k !}=\frac{1}{2} .\)
(b) Seien \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) i.i.d. mit charakteristischer Funktion \( \varphi \). Man zeige folgende Version des schwachen Gesetzes der großen Zahlen: Ist \( \varphi \) differenzierbar in 0 , so gilt
\(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \stackrel{P}{\longrightarrow} \mu=-i \varphi^{\prime}(0)\)

Answer 1

Die (a) sollt recht klar sein: Seien X₁ , ..., X_n uiv. Poisson verteilt mit Parameter 1. Dann ist die Summe

                                                                         \( S_n \coloneqq \sum\limits_{j=1}^n X_j \)

Poisson verteilt mit Parameter n. Was ist dann Erwartungswert und Varianz von S_n ? Was lässt sich mit dem Zentralen Grenzwertsatz über die Zufallsvariable \( \frac{S_n - n}{\sqrt{n}} \) aussagen und wie steht \( e^{-n} \sum\limits_{k=1}^n \frac{n^k}{k!}\) in Verbindung zu \(S_n\)?

Zur (b): Da stochastische Konvergenz gegen \(\mu \) äquivalent ist zur Konvergenz in Verteilung gegen \(\mu \) , reicht es (z.B.) aus mit dem Stetigkeitssatz von Levy auszurechnen, dass die charakteristische Funktion von dem arithmetischen Mittel (beachte, dass die X_i uiv. sind mit char. Fkt. \( \varphi \) und sich dann die char. Fkt von dem arithm. Mittel leicht berechnen lässt) gegen die char. Fkt. von der konstanten Zufallsvariable \(\mu\) (also ist die char. Fkt. durch \( t \mapsto e^{it \mu}\) gegeben) konvergiert für alle \(t \ge 0\).

Comments

okay, die (a) habe ich hinbekommen. Bei der (b) komme ich leider nicht weiter, könnten sie mir das zeigen?

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Wenn du mir zeigst, was du schon hast, dann kann ich dir da auch weiterhelfen.

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bei der (b) leider nichts

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Kann mir jemand die a) etwas genauer erklären.