Bestimme die Basis von V / U.

Question

Aufgabe:

Sei $$V:=\mathbb{Q}^{5x1}$$ und U ein Unterraum erzeugt von $$\left\{\begin{pmatrix} 7\\4\\5\\4\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 6\\3\\3\\3\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 13\\7\\8\\7\\1 \end{pmatrix}\right\}$$ also mit Basis $$\left\{\begin{pmatrix} 7\\4\\5\\4\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 6\\3\\3\\3\\0 \end{pmatrix}\right\}$$
Bestimme die Basis von V / U.
Wir haben noch den Hinweis, das die Basis von V/U die größtmögliche Teilmenge M von V ist, bei der gilt $$\langle M \rangle \cap U = \left\{0\right\}.$$

Hat jemand eine Idee wie man das angehen kann?

Comments

Bestimme die Basis von V / U.

Es müsste "Bestimme eine Basis von V/U".

Wir haben noch den Hinweis, das die Basis von V/U die größtmögliche Teilmenge M von V ist, bei der gilt

\(\langle M \rangle \cap U = \left\{0\right\}.\)

Das erscheint mir falsch, da für jedes \( v \in M\) auch \(cv\in M\) liegen müsste für alle
Skalare \(c\) wegen der Maximalität von \(M\).

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Wörtlich steht da: "Eine Teilmenge $$M\subseteq V$$ liefert genau dann ein Basis $$\left\{[m]|m\in V\right\}$$ von V/U, wenn $$\langle M \rangle \cap U = \left\{0\right\}$$ und M die größtmögliche Menge mit dieser Eigenschaft ist.

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Du meinst wohl eher

... liefert genau dann eine Basis \(\{[m]\; | \; m\in M\}\) ...

oder?

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Nein, steht mit V in dem Hinweis, wäre aber nicht der einzige Tippfehler in dem Arbeitsblatt...

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Das ist ganz sicher ein Tippfehler, da die dort angegebene

Menge ja ganz V/U ist

Answer 1

Sei \(\{b_1,b_2\}\) die von dir angegebene Basis von \(U\).
Ergänze diese mit geeigneten \(b_3,b_4,b_5\) zu einer Basis
von \(V\). Dann ist \(\{[b_3],[b_4],[b_5]\}\) eine Basis von \(V/U\).

Comments

Wie finde ich denn geeignete b3,b4,b5? Und wie komme ich von b3 zu [b3]?

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Um z.B. von \(b_3\) zu \([b_3]\) zu kommen, musst du nichts tun,
außer entweder \(b_3+U\) schreiben oder - was hier dasselbe bedeutet -
um den Vektor eine eckige Klammer machen.

Ich habe übrigens ( Erklärung folgt ) z.B. folgende Vektoren

für die Basisergänzung gefunden: \(b_3=e_3, b_4=e_4, b_5=e_5\),

wobei \(e_3,e_4,e_5\) die Standardeinheitsvektoren sind.

Eine Basis von \(V/U\) ist daher \(\{[e_3],[e_4],[e_5]\}\).

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Super, vielen Dank!

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Ich schreibe die beiden Basisvektoren von \(U\) als

Zeilenvektoren in eine Matrix. Dann bestimme ich die reduzierte

Zeilenstufenform$$\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&-1&0&-1\\0&1&3&1&2\end{array}\right)$$Schließlich ergänze ich die
Matrix um die fehlenden Zeileneinheitsvektoren,
damit ich maximalen Rang (hier 5) erhalte.

In unserem Falle sind das gerade \(e_3^T,e_4^T,e_5^T\).

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Kann man auch e1,e2,e3 nehmen? Mit denen und den beiden Vektoren aus der Basis von U kann man ja auch V ganz erzeugen.

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Wenn das so ist, kannst du die natürlich nehmen!