Zeigen Sie, dass das Tupel (1,2+x,(2+x)^{2}) eine Basis von \Pi_{2}(ℝ) ist.

Question

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( \left(\Pi_{2}, \oplus, \odot\right) \) der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 2. Zeigen Sie, dass das Tupel \( \left(1,2+x,(2+x)^{2}\right) \) eine Basis von \( \Pi_{2}(\mathbb{R}) \) ist.

Answer 1

Hallo

du kannst  a) zeigen dass man aus den 3 alle Polynoms ax^2+bx+c  als Linearkombination erzeugen kann

oder b, dass man daraus die StandardbasisVektoren 1,x,x^2 erzeugen kann.

lul

Answer 2

\(e_1=1,\; e_2=x,\; e_3=x^2\) ist bekanntermaßen

eine Basis von \(\Pi_2\).

Ich zeige, dass \(\{p_1=1,\; p_2=x+2,\; p_3=(x+2)^2=x^2+4(x+1)\}\)

ein Erzeugendensystem ist mit so vielen Elementen, wie eine Basis hat,

und damit selbst eine Basis ist.

Dazu reicht es zu zeigen, dass \(e_1,e_2,e_3\in \langle p_1,p_2,p_3\rangle\) sind.

Es gilt:

\(e_1=p_1\)

\(e_2=p_2\oplus (-1)\odot p_1\)

\(e_3=p_3\oplus (-4)\odot p_2\)