Invertierbarkeit von quadratischen Matrizen

Question

Aufgabe:

Guten Abend, ich habe eine Frage zur invertierbarkeit von quadratischen Matrizen. Soweit ich weiß sind Matrizen mit vollem Rang invertierbar. Weshalb ist das so?

Mein bisheriges wissen zum Rang ist:

Spaltenrang = Zeilenrang = Rang

Rang gibt die Dimenson vom erzeugten Unterraum der Spalten/Zeilen an und sind ja auch linear unabhängig.

Kann man damit auf die invertierbarkeit schließen oder fehlen noch wichtige Erkenntnisse?

Meine Aufgabe besteht darin, zu zeigen das nxn Matrizen mit einer Hauptdiagonalen von 1 invertierbar sind, falls der Absolutbetrag der Summe aller anderen Einträge einer Zeile jeweils kleiner als 1 ist.

Wünsche einen schönen Abend

Problem/Ansatz:

Comments

das nxn Matrizen mit einer Hauptdiagonalen von 1 invertierbar sind, falls der Absolutbetrag der Summe aller anderen Einträge einer Zeile jeweils kleiner als 1 ist.

Die Matrix

      \(\begin{pmatrix}1&{{1}\over{3}}&0\\ {{3}\over{4}}&1&-{{\sqrt{3}}\over{2}}\\ 0&-{{\sqrt{3}}\over{2}}&1\\ \end{pmatrix}\)

hat nur 1 auf der Hauptdiagonalen und der Absolutbetrag der Summe aller anderen Einträge ist in jeder Zeile kleiner als 1.

Die Matrix ist aber nicht invertierbar

---

Mein Fehler. Man nimmt die Absolutbeträge der Einträge einer Zeile, außer der 1, und summiert diese auf. Die Summe muss kleiner als 1 sein.

Answer 1

Sei \(A\) eine \(n\times n\)-Matrix mit Rang\((A)=n\).
Dann liefert die Dimensionsformel für lineare Abbildungen
zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen
\(\dim(\ker(A))+\)Rang\((A)=\dim(\ker(A))+n=n\),
also \(\dim(\ker(A))=0\), d.h. Multiplikation mit \(A\)
ist injektiv. Wegen des maximalen Rangs bilden
die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem
des \(K^n\), so dass also Mult. mit \(A\) surjektiv ist,
und somit bijektiv. Die Matrix ist also invertierbar.

Answer 2

Matrizen mit vollem Rang lassen sich durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix \(E\) überführen.

Elementare Zeilenumformungen können als Multiplikation mit Elementarmatrizen aufgefasst werden. Ergibt dann zum Beispiel

        \(E_n\cdot E_{n-1}\cdot \ldots \cdot E_1 \cdot M = E\),

mit den Elementarmatrizen \(E_1,\,\dots\,,\ E_n\), dann ist

        \(E_n\cdot E_{n-1}\cdot \ldots \cdot E_1 = M^{-1}\).

Comments

Ok, und falls kein vollständiger Rang vorliegt, lässt sich die Inverse nicht durch Elementarmatrizen darstellen, da so eine Zeile wegfällt (zwangsweise?), sodass nicht die Einheitsmatrix für nxn rauskommt?