Invertierbarkeit von Matrizen

Question

ich muss folgende Aufgabe bearbeiten: 
Geben sie ein Tripel (x,y,z) an, sodass die Matrix det\( \begin{pmatrix} a ^2+x & ab & ac \\ ab & b^2+y & bc \\ ac & bc & c^2+z \end{pmatrix} \) = a²*yz + b²*xz + c²*xy + xyz für jede Wahl von a,b,c invertierbar sind. 

Ich weiß, dass die Determinante ≠ 0 sein muss, damit die Matrix invertierbar ist.

Wenn ich jetzt beispielsweise sage, dass x = y = z = 1 lauten, dann wäre ja gegeben, dass die Determinante ungleich 0 ist, da mit a², b² und c² nie eine negative Zahl entstehen könnte, die die 1 bei x*y*z aufhebt, oder? 

Answer 1

Wenn ich jetzt beispielsweise sage, dass x = y = z = 1 lauten

Dann wäre mit a = b = 1 und c = i√3 die Determinante 0.

Wegen c = ±√(-a² - b² - 1) kann es bei x = y = z = 1 keine reellen Lösungen für c geben, wenn a und b reell und det = 0 sein soll.

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung. Gut, das macht Sinn.. 

Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich hier auf eine "richtige" Lösung komme?

---

Ich weiß nicht, was du mit "richtige" Lösung meinst. Falls es eine reelle Matrix ist, dann ist deine Lösung korrekt. Falls es eine komplexe Matrix ist, dann gibt es keine Lösung.

---

Vielen Dank für die Rückmeldung! Da nirgends in der Aufgabenstellung erwähnt wird, ob es sich um eine komplexe oder reelle Matrix handelt, gehe ich mal von einer reellen aus. 

Nun habe ich noch den Fall, dass ich ein Tripel (x,y,z) angeben muss, das für jede Wahl von a,b,c nicht invertierbar ist. 

Hier muss die det A = 0 sein, daher würde ich sagen, dass es beispielsweise x = y = z = 0 sein könnte oder x = y = 0, z bel. oder z = y = 0, x bel. usw. 

Ist das auch korrekt?

---

Kann mir das vielleicht noch jemand bestätigen? :)