Invertierbarkeit von Matrizen in verschiedenen Fällen (modulo Primzahlen p)

Question

Aufgabe:

Es sei p eine Primzahl.

Untersuchen Sie die Invertierbarkeit von

C=\( \begin{pmatrix} 13 & 7 & 6 \\ -7 & 1 & 1 \\ 3 & 8 & 7 \end{pmatrix} \) ∈ ℤ_p^3×3

^{in den drei Fällen p=2, p=3, p=5.}

Problem/Ansatz:

Ich habe die Matrix jetzt für die jeweiligen p umgeformt, sodass die Äquivalenzklassen in der Matrix stehen.

Allerdings bekomme ich für jedes p raus, dass die Matrix invertierbar ist, und dann wäre die Aufgabe ja ziemlich unnötig.

(Ich habe verwendet, dass gilt: Rang C = n ⇒ C ist invertierbar).

Ich habe bspw die Matrix C für p=5 in die folgende Form gebracht:

C= \( \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)

Stimmt das, oder wie soll man die Aufgabe lösen?

Answer 1

Die gegebene Matrix geht nach einigen elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen in \(\begin{pmatrix}-1&1&8\\0&1&7\\0&0&3\end{pmatrix}\) über. Der Rang ist geich drei, wenn alle Diagonalelemente ungleich Null sind. Das ist nur für p=3 nicht der Fall.

Alternativ ist C invertierbar, wenn det(C)≠0 ist. Über ℤ ist det(C)=-3, also gilt det(C)=0 nur für p=3.

Comments

Super, vielen Dank!!!