Gleichmäßige Stetigkeit der Natürlichen Logarithmusfunktion auf einem Positivem Intervall

Question

Aufgabe:

Hey, ich habe hier mal probiert zu beweisen, das der ln auf einem positivem Intervall gleichmäßig stetig ist und wollte nur mal hören, ob es was zu verbessern gibt oder komplett falsch ist. Danke!

Problem/Ansatz:

Für jede positive Reelle Zahl a ist \( \ln \mid(a, \infty):[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gleichmäßig stetig.


Sei \( |x-a|<\delta=a \cdot\left(e^{\varepsilon}-1\right) \), dann ist \( |f(x)-f(a)|<\varepsilon \)


\( |f(x)-f(a)|=|\ln (x)-\ln (a)|\)
\(=\displaystyle\ln \left(\frac{x}{a}\right)\)
\(=\displaystyle\ln \left(\frac{x-a+a}{a}\right)\)
\(\leqslant \displaystyle\ln \left(\frac{|x-a|+a}{a}\right)\)
\(<\ln \displaystyle\left(\frac{\delta+a}{a}\right)\)
\(=\ln \displaystyle\left(\frac{a \cdot\left(e^{\displaystyle\varepsilon}-1\right)+a}{a}\right)\)
\(=\ln \displaystyle\left(\frac{a \cdot\left(\left(e^{\varepsilon}-1\right)+1\right)}{a}\right) \)
\(=\ln \left(e^{\displaystyle\varepsilon}\right) \)
\(=\varepsilon\)

Also: \( |f(x)-f(a)|=|\ln (x)-\ln (a)|<\varepsilon \)
Also ist \( \left.\ln \right|_{[a, \infty)}:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gleichmäßigstetig

Comments

Hallo

glm stetig. δ(ε) hängt nicht von der Stelle x0 hier a ab!

Gruß lul

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Hi danke dir für deine Antwort. Wie kann ich das Reparieren? Oder ist eine falscher Ansatz?

Answer 1

Der Ln(x) ist nicht gleichmäßig stetig auf [0,∞) aber auf [1,∞).

also darf dein a nicht jede positive Reele Zahl sein:

Hoffe das Hilft dir

Comments

also darf dein a nicht jede positive Reele Zahl sein:

Das folgt nicht aus dem, was Du zunächst gesagt hast. Und es ist falsch

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Für jede positive Reelle Zahl a ist \( \ln \mid(a, \infty):[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gleichmäßig stetig

Der Ln ist nicht gleichmäßig stetig auf [0,1]  also darf das a nicht jede positive Reelle Zahl sein. Was ist daran Falsch ?

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Der Logarithmus

1. Ist auf [0,1] nicht definiert

2. Ist auf (0,1) nicht gleichmäßig stetig.

3. Ist auf \([a,\infty)\) für a>0 gleichmäßig stetig. Das kann man mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung sehen.

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1 Mein Fehler hatte ich meinte (0,1] nicht gleichmäßig stetig. Hab mich bei einer klammer vertippt.

Das müsst doch so richtig sein oder .

2. habe ich nie behauptet

3. Ist aber doch Falsch oder?

ist das nicht ein Widerspruch zu 2.

weil a>0 beliebig ist a∈(0,1) => 0<a<1

(a,1) ⊂ (0,1)

also kann [a,1] nicht gleichmäßig Stetig sein

und damit [a,∞) auch nicht.

Oder hab ich hier einen Denkfehler den ich grade nicht sehe.

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Versuche doch mal Deine Meinung zu beweisen

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Also a)

sei x=δ und y=δ/2

und ε=1

|x-y|=|δ-δ/2| = δ/2<δ

|ln(x)-ln(y)| = |ln(x/y)| =  |ln(δ/(δ/2))|= ln(2) > 1/2 = ε

Also nicht glm stetig.

Und b)

3. Ist auf ([a,∞) für a>0 gleichmäßig stetig. Das kann man mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung sehen.

also müsste ln(x) doch auf (0,∞) glm stetig sein und das ist doch Falsch oder?

Hast du ja auch in 2. gesagt.

Falls das auch nicht richtig ist könntest du erklären wo mein Denkfehler ist?

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Also Du fragst jetzt, ob Folgendes richtig ist:

Wenn f auf \([a,\infty)\) (a>0) gleichmäßig stetig ist, dann ist f auch auf \((0,\infty)\) gleichmäßig stetig.

Hast Du dafür eine Begründung? Ist Dir klar, dass \([a,\infty) \subsetneq (0,\infty)\)?

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Ja genau das frage ich.

a sind alle reellenzahlen größer 0 laut Aufgabenstellung. Also alle a∈(0,∞).

und wo ist dann mein Denkfehler?

oder was ist an meinem Beweis falsch?

Ich glaube wir reden ein wenig aneinander vorbei.

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Schau mal meine Antwort

Answer 2

vgl:

https://www.mathelounge.de/354646/gleichmassige-stetigkeit-gegenbeispiel

Answer 3

Ich schreibe mal eine Antwort hierrein, um in der Diskussion mit Flötenmann weiter zu kommen:

Behauptung: Sei a>0, dann ist \(\ln:[a, \infty) \to \R\) gleichmäßig stetig.

Sei \(\epsilon>0\) gegeben, setze \(\delta:=a \epsilon\). Dann gilt für \(x,y \in [a, \infty)\) mit \(|x-y|<\delta\): Es existiert nach dem Mittelwertsatz ein z zwischen x und y, also auf jeden Fall \(z \geq a\) mit

$$|\ln(x)-\ln(y)|=\frac{1}{z}|x-y| \leq \frac{1}{a}\delta=\epsilon$$

Comments

Dann ist die Funktion aber doch nur stetig und nicht gleichmäßig stetig... weil dein δ von a abhängig ist.

Und mein punkt war ja nicht das es ein a>0 gibt sodass die Funktion gleichmäßig stetig ist, sondern das die Behauptung nicht für alle a>0 gilt. Das ist das einzige was ich behauptet habe.

Die Aufgabenstellung war ja:

Für jede positive Reelle Zahl a ist \( \ln \mid(a, \infty):[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gleichmäßig stetig

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Der Punkt ist, dass delta von x und y unabhängig ist.

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Aber dann sind x,y doch von a abhängig.

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x und y müssen aus dem Definitionsbereich sein - sonst macht ja alles keinen Sinn.

Wenn Du das eine Abhängigkeit nennen willst??

Aber ich glaube, wir finden hier keine Übereinstimmung.

Wenn wir hier noch etwas diskutieren wollen, musst Du mal aufschreiben: Wie ist gleichmäßige Stetigkeit definiert - mathematisch

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also ln ist glm stetig auf (a,∞) Bzw auf [a,∞) für alle a>0 sagst du ?

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ja, sage ich

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also auch für a=0,0000000000000000000000000000000000000000000000001 ?

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Def Glm Stetigkeitn auf Definitionsbereich M:

 ∀ε>0 ∃δ>o s.d ∀x,y∈M mit |x-y|<δ | gilt f(x)-f(y)|<ε