Taylorpolynom / Taylorreihe einer Polynomfunktion

Question

Aufgabe:

Taylorreihe von f(x)= 5x^4 in stelle X0= 1.

Ansatz:

Hier würde man dann doch nur das Taylorpolynom angeben oder?

(wie man das macht ist mir bewusst)

Allerdings ist eine Taylorreihe doch eine Unendliche Reihe. Müsste ich hier also etwas anderes machen?

Comments

Die Taylorreihe von f in \( x_0= 1 \) ist

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(1)}{k!} (x-1)^k $$

für \( k \ge 5 \) ist \( f^{(k)} \equiv 0 \) d.h. die Reihe bricht relativ schnell ab und es bleibt ein Polynom übrig.

Answer 1

Bei Polynomfunktionen ist immer die Taylorreihe

gleich dem Polynom. Die "letzten" Summanden der

Reihe sind 0en.

Answer 2

Aloha :)

Die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt \(x_0\) hat die Form:$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n$$

Zur Angabe der Taylorreihe von \(f(x)=5x^4\) um den Punkt \(x_0=1\) musst du also Linearfaktoren in der Form \((x-1)^n\) angeben. Nutze dazu den binomischen Lehrsatz:$$f(x)=5x^4=5(\pink{(x-1)}+1)^4$$$$\phantom{f(x)}=5\left(\pink{(x-1)}^4+4\pink{(x-1)}^3\cdot1+6\pink{(x-1)}^2\cdot1^2+4\pink{(x-1)}\cdot1^3+1^4\right)$$$$\phantom{f(x)}=5+20(x-1)+30(x-1)^2+20(x-1)^3+5(x-1)^4$$Die Taylorreihe bricht hier nach dem Term mit \(n=4\) ab, weil alle höheren Ableitungen verschwinden.