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Beatrice trifft mit der Wahrscheinlichkeit \(p_B=\frac23\).
Conny trifft mit der Wahrscheinlichkeit \(p_C=\frac25\).
zu a1) Beatrice trifft genau 1-mal:
Der Treffer kann beim 1-ten, beim 2-ten oder beim 3-ten Wurf passieren:$$p(B=1)=\green{\frac23}\cdot\red{\frac13}\cdot\red{\frac13}+\red{\frac13}\cdot\green{\frac23}\cdot\red{\frac13}+\red{\frac13}\cdot\red{\frac13}\cdot\green{\frac23}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$$
zu a2) Beatrice trifft mindestens 1-mal:
Wir ziehen von \(1\) die Wahrscheinlichkeit ab, dass Beatrice gar nicht trifft:$$p(B\ge1)=1-P(B=0)=1-\red{\frac13}\cdot\red{\frac13}\cdot\red{\frac13}=1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}$$
zu b) Die W., dass Conny in \(n\) Versuchen nicht trifft ist \((1-p_C)^n=\left(\frac35\right)^n\).
Daher trifft sie in \(n\) Versuchen mindestens 1-mal mit der Wahrscheinlichkeit:$$p_n(C\ge1)=1-\left(\frac35\right)^n$$Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 99,9% betragen:$$1-\left(\frac35\right)^n\ge0,999\implies\left(\frac35\right)^n\le0,001\implies n\ln\left(\frac35\right)\le\ln(0,001)\stackrel{(\ast)}{\implies}$$$$n\ge\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,6)}\approx13,5\implies n\ge14$$Beachte beim Rechenschritt mit \((\ast)\), dass \(\ln(\frac35)=\ln(0,6)\) negativ ist, sodass sich bei der Division durch \(\ln(0,6)\) das Relationszeichen umkehrt.
zu c) Wir bestimmen zuerst die Wahrscheinlichkeiten, dass Beatrice und Conny jede für sich genau 0-mal, genau 1-mal, genau 2-mal und genau 3-mal treffen, mit Hilfe der Binomialverteilung:$$p(B=k)=\binom{3}{k}\left(\frac23\right)^k\cdot\left(\frac13\right)^{3-k}\quad;\quad p(C=k)=\binom{3}{k}\left(\frac25\right)^k\cdot\left(\frac35\right)^{3-k}$$Einsetzen liefert uns:$$\begin{array}{c}p(B=0) & p(B=1) & p(B=2) & p(B=3)\\\hline\\[-2ex]\frac{1}{27} & \frac{6}{27} & \frac{12}{27} & \frac{8}{27}\\[1ex]\hline\hline p(C=0) & p(C=1) & p(C=2) & p(C=3)\\\hline\\[-2ex]\frac{27}{125} & \frac{54}{125} & \frac{36}{125} & \frac{8}{125}\end{array}$$
Jetzt überlegen wir uns die Wahrscheinlichkeiten für diejenigen Fälle, in denen Beatrice öfters trifft als Conny. In der folgenden Tabelle sind das die Fälle oberhalb der Diagonalen$$\begin{array}{c}& B=0 & B=1 & B=2 & B=3\\\hline\\[-2ex]C=0 & \times & \frac{6}{27}\cdot\frac{27}{125} & \frac{12}{27}\cdot\frac{27}{125} & \frac{8}{27}\cdot\frac{27}{125}\\[1ex]C=1 & \times & \times & \frac{12}{27}\cdot\frac{54}{125} & \frac{8}{27}\cdot\frac{54}{125}\\[1ex]C=2 & \times & \times & \times & \frac{8}{27}\cdot\frac{36}{125}\\[1ex]C=3 & \times & \times & \times & \times \end{array}$$Die Summe liefert uns die gesuchte Wahrscheinlichkeit:$$p(B>C)=\frac{26\cdot27+20\cdot54+8\cdot36}{27\cdot125}=\frac{46}{75}$$
zu d) Im direkten Wettkampf darf Conny beginnen.
Wir schauen uns diesen ersten Durchgang mal genauer an:
(1) Conny wirft.
(2) Wenn Conny trifft, hat Conny gewonnen\(\implies p(\text{C trifft})=\frac25\)
(3) Wenn Conny nicht tirfft, wirft Bea.
(4) Wenn Bea triftt, hat Bea gewonnen
\(\phantom{(4)}\)\(\implies p(\text{C trifft nicht, aber B trifft})=\left(1-\frac25\right)\cdot\frac23=\frac25\)
(5) Beide werfen mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac35\cdot\frac13=\frac15\) daneben.
(6) "Neues Spiel, neues Glück", alles beginnt wieder bei (1).
Offensichtlich gewinnen Conny und Bea das Spiel mit derselben Wahrscheinlichkeit \(\frac25\) und mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac15\) geht es in einen weiteren Durchgang. Das heißt, beide gewinnen gleich oft. Die Wahrscheinlichkeit, dass Conny gewinnt ist daher gleich \(\frac12\).
