Wieso ist U ∩ V die leere Menge?

Question

Seien n, m ≥ 1, sei s ∈ (Z_3)^m \ {0}, und sei A ∈ (Z_3)^(m×n). Sei U die
Lösungsmenge des Gleichungssystems A·x = s, und sei V die Lösungsmenge
des zugehörigen homogenenen Gleichungssystems A · x = 0.
Meine Frage ist, ob U∩V die leere Menge ist? Falls ja warum genau?

Answer 1

Meine Frage ist, ob U∩V die leere Menge ist?    JA

warum genau?  Wenn x∈U dan n gilt ja A·x = s

und wenn x∈V dann gilt ja A·x = 0

Gäbe es ein x∈U∩V dann wäre für dieses x

sowohl A·x = s als auch  A·x = 0,

also s=0 im Widerspruch zu s ∈ (Z_3)^m \ {0}.

Answer 2

Sei U die Lösungsmenge des Gleichungssystems A·x = s

Sei

        \(\sum\limits_{j=1}^m a_{ij} x_j = s_i\)

eine Zeile dieses Gleichungssystems mit \(s_j\neq 0\). Eine solche Zeile existiert, weil \(s \neq 0\) ist.

Sei

        \(y = \begin{pmatrix}y_i\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}\in U\).

Dann ist

        \(\sum\limits_{j=1}^m a_ij y_j = s_j\)

und somit

        \(\sum\limits_{j=1}^m a_ij y_j \neq 0\).

Also ist \(y\notin V\).