Aufgabe:
Zusatzaufgabe. (8 Punkte) Für \( s \in \mathbb{R} \) und \( n \in \mathbb{N} \) definieren wir
\( \left(\begin{array}{l} s \\ n \end{array}\right):=\frac{s \cdot(s-1) \cdots(s-n+1)}{n !} \text { und }\left(\begin{array}{l} s \\ 0 \end{array}\right):=1 \text {. } \)
\( \left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right) \) nennt man die allgemeinen Binomialkoeffizienten. Zeigen Sie:
(a) \( \left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right)=0 \) genau dann, wenn \( s \in \mathbb{N}_{0} \) und \( n>s \)
(b) Für \( s \notin \mathbb{N}_{0} \) gilt: Der Konvergenzradius der Potenzreihe \( f(x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right) x^{n} \) ist \( R=1 \).
(c) \( \left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}s \\ n-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s+1 \\ n\end{array}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(d) Für alle \( x \in(-1,1) \) gilt \( (1+x)^{s}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l} s \\ n \end{array}\right) x^{n} . \)
Anleitung: Zeigen Sie, dass \( (1+x) f^{\prime}(x)=s f(x) \) auf \( (-1,1) \), und folgern Sie, dass die Funktion \( g(x):=f(x)(1+x)^{-s} \) konstant gleich 1 ist.
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen, ich habe folgende Zusatzaufgaben, die ich unbedingt lösen muss. Leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich die Aufgaben angehen/lösen soll. Ich bitte um Hilfe und um Verständnis.
Danke!
