Was sagt die Zeilenstufenform hier aus?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Untervektorräume U:=spanR((1,2,0,0),(3,1,5,0),(1,4,0,2))
und W:=spanR((−1,4,2,7),(5,1,2,2))von R^4.

Der Untervektorraum U∩W von R^4 besitzt als Basis ((−1,c,d,e)). Geben Sie c,d und e an.

Problem/Ansatz:

Also ich habe zwei allgemeine Elemente von U und W gleich gesetzt und in Zeilenstufenform gebracht aber was sagt diese denn jetzt aus über c,d,e ?

Answer 1

Das kommt darauf an, was Du in die Zeilenstufenform rein gepackt hast?

Jedenfalls eine Basis des Untervektorraum U∩W, etwa

\( _{U_∩W}:\left\{\vec{x} = \left(\begin{array}{r}-41 \; t\\38 \; t\\10 \; t\\65 \; t\\\end{array}\right)\right\}\)

Comments

Was meinst du mit reingepackt?

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Den Aufbau Deines Gleichungssystems zur Bestimmung U∩W.

Was ist also Dein Ergebnis?

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Mein Ergebnis ist :

1   3   1 = -1    5

0   -5   2=  6   -9

0    0    2= 8    7

0    0    0=-1    9

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Hm,

das ergibt keinen Sinn, meine ich.

Du hast ein LGS etwa

a11{1,2,0,0} + a12 {3,1,5,0}+ a13{1,4,0,1}-(a21{-1,4,2,7}+a22{5,1,2,2})=0

macht

\(\small \left(\begin{array}{rrrrr}1&3&1&1&-5\\2&1&4&-4&-1\\0&5&0&-2&-2\\0&0&1&-7&-2\\\end{array}\right)\)

und

\(\small \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&\frac{-56}{3}\\0&1&0&0&\frac{1}{3}\\0&0&1&0&\frac{65}{6}\\0&0&0&1&\frac{11}{6}\\\end{array}\right)\)

da bietet sich a22 → t als freie Variable an und ergibt den o.g. Untervektorraum, wo t geeignet gewählt auf den gewünschten Basisvektor führt

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Wie kommt man von der Zeilenstufenform auf den Basisvektor?

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In dem man abschreibt was da steht:

\(   \left\{ a11 = \frac{56}{3} \; a22, \; a12 = \frac{-1}{3} \; a22, \; a13 = \frac{-65}{6} \; a22, \; a21 = \frac{-11}{6} \; a22 \right\}  \)

und damit den gemeinsammen Vektor bestimmt den wir im LGS oben gesucht haben...