Zeigen dass eine Abbildung eine Isometrie ist

Question

Aufgabe:Wir haben eine Abbildung des R² gegeben und sollen zeigen, dass es eine Isometrie ist.

Problem/Ansatz: Ich weiß leider nicht wie ich von einer Abbildung auf die affine Abbildung komme. Den einzigen Satz den wir haben um zu zeigen, dass es eine Isometrie ist, ist es zu zeigen, dass die affine Abbildung orthoganal ist.

Comments

Vielleicht solltest Du uns die gegebene Abbildung zeigen?

Mich würde auch interessieren, wann eine affine Abbildung orthogonal ist.

---

Sorry ich hab gerade gemerkt ich hab mich komplett falsch ausgedrückt. Wir haben eine Abbildung bspw. F(a,b)=(a+1,b+1) gegeben und sollen zeigen, dass es eine Isometrie ist. Als ich durch Skript gegangen bin habe ich gefunden, dass eine affine Abbildung eine Isometrie ist genau dann wenn die dazugehörige lineare Abbildung in der Orthogalen Gruppe ist. Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie ich auf diese lineare Abbildung kommen soll.

Answer 1

Hallo,

dass eine affine Abbildung eine Isometrie ist genau, dann wenn die dazugehörige lineare Abbildung in der Orthogalen Gruppe ist.

ich weiß zwar nicht, ob es das ist, was Ihr unter 'dazugehöriger lineare Abbildung' versteht, aber man kann sich in solchen Fällen damit behelfen, indem man noch eine weitere Dimension einführt. Auch bekannt als homoge Koordinate$$F(a,b) = (a+1,b+1) \to \\ F_{h}(a,b,1) = \begin{pmatrix} 1 & 0& 1 \\ 0 & 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a\\ b\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+1\\ b+1\\ 1 \end{pmatrix}$$das ist eine lineare Abbildung. Aber die 3x3-Matrix ist keine orthogonale Matrix, der rotatorische Anteil - die 2x2-Matrix oben links - aber schon.

Wenn mit 'dazugehöriger lineare Abbildung' diese 2x2-Matrix gemeint ist, dann ist die Bedingung erfüllt. Der restliche Teil der 3x3-Matrix ist nur eine reine Verschiebung im Raum (bzw. in \(\mathbb{R}^2\)). Und dies sollte für die Isometrie keine Rolle spielen.

Comments

Ich vermute eher, dass eine affine Abbildung dir Form

F(x) = Ax+a

Mit einer linearen Abbildung A hat und dieses A könnte dann orthonormal sein.