Aufgabe:
Es sei \( (V,\langle.,.\rangle) \) ein unitärer Vektorraum, \(f \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(V, V)=\operatorname{End}_{\mathbb{C}}(V) \) ein Endomorphismus \( \neq 0 \) mit der Eigenschaft, dass für alle \( v, w \in V \) mit \( \langle v, w\rangle=0 \) auch \( \langle f(v), f(w)\rangle=0 \) gilt. Zeigen Sie, dass ein \( \alpha \in \mathbb{C} \) existiert, für welches \( \alpha f: V \rightarrow V \) eine Isometrie ist.
Problem:
Ich habe mir schon das visuell aufgezeichnet, aber nur für \(\mathbb{R^2}\), für \(\mathbb{C}\) bin ich mir nicht meh so sicher wie es aussieht. Ich weiss das jede Isometrie entweder eine Spiegelung oder genauer eine Rotation ist, aber ich bin mit meinen Ideen leider am Ende wie ich es zeigen kann. Vielleicht kann mir jemand ein konkretes Beispiel angeben, wie so ein \(\alpha\) for \(\mathbb{C}\) funktioniert, oder den Namen des Problems geben, das ich es online nachschlagen kann.
Vielen Dank!
