Zeigen Sie, dass genau eine lineare Abbildung A: U → V existiert, so dass

Question

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Aufgabe 2 (Lineare Abbildungen)
(4 Punkte)
Es seien $U$ und $V$ Vektorräume, $\left(\boldsymbol{g}_{1}, \ldots, \boldsymbol{g}_{n}\right)$ eine Basis von $U$ und $\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{n}$ beliebige Vektoren aus $V$. Zeigen Sie, dass genau eine lineare Abbildung $A: U \rightarrow V$ existiert, so dass
$\boldsymbol{A} \boldsymbol{g}_{i}=\boldsymbol{w}_{i} \text { für jedes } i=1, \ldots, n \text {. }$

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich komm hier nicht wirklich voran, könnte mir da jemand weiterhelfen?

Danke :)

Answer 1

Jedes u∈U lässt sich eindeutig schreiben mit x₁,...,x_n ∈ K

(Der Körper über dem der Vektorraum betrachtet wird.)

weil $\left(\boldsymbol{g}_{1}, \ldots, \boldsymbol{g}_{n}\right)$ eine Basis von U ist  :

 $u = x_1 \cdot g_{1} + \dots + x_n \cdot g_{n}$

Wenn A linear ist , ist also

$A(u) = x_1 \cdot A(g_{1}) + \dots + x_n \cdot A(g_{n})$

und der mit der Festlegung  A(g_i)=w_i für alle i∈{1...n} ist

alles gezeigt.