Zeigen Sie, dass genau eine lineare Abbildung A: U → V existiert, so dass

Question

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Aufgabe 2 (Lineare Abbildungen)
(4 Punkte)
Es seien \( U \) und \( V \) Vektorräume, \( \left(\boldsymbol{g}_{1}, \ldots, \boldsymbol{g}_{n}\right) \) eine Basis von \( U \) und \( \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{n} \) beliebige Vektoren aus \( V \). Zeigen Sie, dass genau eine lineare Abbildung \( A: U \rightarrow V \) existiert, so dass
\( \boldsymbol{A} \boldsymbol{g}_{i}=\boldsymbol{w}_{i} \text { für jedes } i=1, \ldots, n \text {. } \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich komm hier nicht wirklich voran, könnte mir da jemand weiterhelfen?

Danke :)

Answer 1

Jedes u∈U lässt sich eindeutig schreiben mit x₁,...,x_n ∈ K

(Der Körper über dem der Vektorraum betrachtet wird.)

weil \( \left(\boldsymbol{g}_{1}, \ldots, \boldsymbol{g}_{n}\right) \) eine Basis von U ist  :

 \( u =  x_1 \cdot g_{1} +  \dots + x_n \cdot g_{n} \)

Wenn A linear ist , ist also

\( A(u) =  x_1 \cdot A(g_{1}) +  \dots + x_n \cdot A(g_{n}) \)

und der mit der Festlegung  A(g_i)=w_i für alle i∈{1...n} ist

alles gezeigt.