Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung f: U / V → U / V induziert.

Question

Aufgabe:

Es sei \( U=\mathbb{R}^{4} \) und \( V=\left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\rangle \). Ferner sei die lineare Abbildung \( f: U \rightarrow U \) mit
\(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \\x_{3} \\x_{4}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x_{1}-x_{2}+x_{3} \\2 x_{1}+x_{3}+x_{4} \\2 x_{3}-x_{4} \\x_{3}+x_{4}\end{array}\right)\)
gegeben.
1. Zeigen Sie, dass \( f \) eine lineare Abbildung \( \bar{f}: U / V \rightarrow U / V \) induziert. Geben Sie die Matrix an, die \( \bar{f} \) bezüglich der Basis \( \mathbf{e}_{3}+V, \mathbf{e}_{4}+V \) darstellt.
2. Geben Sie ein Beispiel für eine lineare Abbildung \( g: U \rightarrow U \) an, sodass gilt: \( g(\mathbf{v})=\mathbf{v} \) für alle \( \mathbf{v} \in V \) (insbesondere induziert \( g \) eine lineare Abbildung \( \bar{g}: U / V \rightarrow U / V \) ) und \( \bar{g}=\operatorname{id}_{U / V} \), aber \( g \neq \mathrm{id}_{U} \).

Problem/Ansatz:

Leider habe ich bisher nie verstanden, was dieser strich über den buchstaben bedeutet. Kann mir jemand darüber hinaus die Aufgabe erklären

Answer 1

Zur a):

Weißt du, was Quotientenräume denn überhaupt sind? Irgendwo muss ich ja anfangen, du sagst überhaupt nicht, wo dein Wissensstand/Verständnis aufhört.

Die lineare Abbildung \(f:U\longrightarrow U\) induziert erst einmal eine Abbildung

$$\pi f:U\stackrel{f}{\longrightarrow}U\stackrel{\pi}{\longrightarrow}U/V,$$

wobei \(\pi:u\mapsto u+V\) einfach die Projektion in den Quotientenraum darstellt. Diese Abbildung \(\pi f\) gibt es immer, dafür muss \(f\) keine besonderen Eigenschaften bis auf die Linearität haben.

WENN jetzt \(V\subseteq\ker{\pi f}\) gilt, dann kannst du den Homomorphiesatz anwenden, es gibt also eine eindeutige lineare Abbildung \(\bar{f}:U/V\longrightarrow U/V\), sodass \(\bar{f}\pi=\pi f\).

Das ein bisschen anders gesagt, die Abbildung \(\bar{f}\) gibt dir genau das gleiche Bild wie \(f\) für Argumente modulo V, modulo V. Ich sage dazu immer gerne, ich "kille" alle Informationen darüber, was in \(V\) passiert, und meine Abbildung \(\bar{f}\) behält alle sonstigen Informationen.

Was dafür natürlich gelten muss ist, dass \(V\subseteq \ker{\pi f}\), also dass für alle \(v\in V:\pi f(v) [=f(v)+V] = 0+V\), anders gesagt \(f(v)\in V,\forall v\in V\), oder kurz und knackig \(\mathrm{bild}(V)\subseteq V\). DAS ist einfach nachrechenbar für dich, oder?

Zur b): Stell dir vor, du hast eine Abbildung \(f:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3\). Und \(V=\langle e_1,e_2\rangle\). Wenn deine Abbildung eine Permutationsabbildung ist (Koordinaten permutiert), und \(e_1,e_2\) vertauscht und \(e_3\) inruhe lässt, sprich: \(f(e_1)=e_2,f(e_2)=e_1,f(e_3)=e_3\), wie sieht dann deine Abbildung aus, wenn du "killst"/"rausteilst", was in \(V\) passiert? Rein intuitiv: Deine Abbildung \(\bar{f}\) "vergisst", dass \(f\) auf \(V\) Koordinaten tauscht, und auf \(U/V\) sieht deine Abbildung aus wie die Identität.