Aufgabe:
a) Seien U, V Unterräume von W. Zeigen Sie, dass fur die lineare Abbildung h : U × V → U + V ,
h(u, v) := u + v der Kern von h isomorph zu U ∩ V ist. Welche Aussage liefert jetzt Satz 52?
b) Sei h eine lineare Abbildung von U nach V , sei W ein Unterraum von V , und sei h−1(W) = {u ∈U | h(u) ∈ W}. Zeigen Sie
dim(h−1(W)) = dim ker h + dim(W ∩ im h).
Satz 52.
Seien V, W zwei endlich-dimensionale K-Vektorraume, h: V → W ein Homomorphismus. Dann gilt: dim V = dim ker h + dim im h.
Problem/Ansatz:
Ich sehe nicht ganz wie mir der Satz bei a helfen soll.
Aber fuer b) haette ich den Beweis des Satz 52 "nach gestellt" oder halt aehnlich aufgebaut.