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Aufgabe:

a) Seien U, V Unterräume von W. Zeigen Sie, dass fur die lineare Abbildung h : U × V → U + V ,
h(u, v) := u + v der Kern von h isomorph zu U ∩ V ist. Welche Aussage liefert jetzt Satz 52?


b) Sei h eine lineare Abbildung von U nach V , sei W ein Unterraum von V , und sei h−1(W) = {u ∈U | h(u) ∈ W}. Zeigen Sie
dim(h−1(W)) = dim ker h + dim(W ∩ im h).


Satz 52.

Seien V, W zwei endlich-dimensionale K-Vektorraume, h: V → W ein Homomorphismus. Dann gilt: dim V = dim ker h + dim im h.


Problem/Ansatz:

Ich sehe nicht ganz wie mir der Satz bei a helfen soll.

Aber fuer b) haette ich den Beweis des Satz 52 "nach gestellt" oder halt aehnlich aufgebaut.

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1 Antwort

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Beste Antwort

Der Satz 52 sagt doch dim V = dim ker h + dim im h.

mit dem Ergebnis von a) gibt das

dim (UxV) = dim U ∩ V + dim (U+V)

Avatar von 289 k 🚀

Danke ich habe a) falsch verstanden.

Wie soll ioch genau das isomorph zeigen soll ich eine weitere lineare Abbildung angeben oder wie kann ich das verstehen.

Du musst einen Isomorphismus angeben:

f : Kern (h ) → U∩V (oder umgekehrt)

ja ok danke.

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