Zeigen Sie, dass fur die lineare Abbildung h : U × V → U + V ,

Question

Aufgabe:

a) Seien U, V Unterräume von W. Zeigen Sie, dass fur die lineare Abbildung h : U × V → U + V ,
h(u, v) := u + v der Kern von h isomorph zu U ∩ V ist. Welche Aussage liefert jetzt Satz 52?

b) Sei h eine lineare Abbildung von U nach V , sei W ein Unterraum von V , und sei h⁻¹(W) = {u ∈U | h(u) ∈ W}. Zeigen Sie
dim(h⁻¹(W)) = dim ker h + dim(W ∩ im h).

Satz 52.

Seien V, W zwei endlich-dimensionale K-Vektorraume, h: V → W ein Homomorphismus. Dann gilt: dim V = dim ker h + dim im h.

Problem/Ansatz:

Ich sehe nicht ganz wie mir der Satz bei a helfen soll.

Aber fuer b) haette ich den Beweis des Satz 52 "nach gestellt" oder halt aehnlich aufgebaut.

Answer 1

Der Satz 52 sagt doch dim V = dim ker h + dim im h.

mit dem Ergebnis von a) gibt das

dim (UxV) = dim U ∩ V + dim (U+V)

Comments

Danke ich habe a) falsch verstanden.

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Wie soll ioch genau das isomorph zeigen soll ich eine weitere lineare Abbildung angeben oder wie kann ich das verstehen.

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Du musst einen Isomorphismus angeben:

f : Kern (h ) → U∩V (oder umgekehrt)

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ja ok danke.