Wir rechnen einfach mal aus, was der kern von \(h\) denn ist: Für \(u\in U,v\in V\) gilt: \(h(u,v)=u+v\stackrel{?}{=}0\) genau dann, wenn \(u = -v\) und \(v = -u\). Es muss also durch die Vektorraumaxiome gelten, dass \(u\in V\) und \(v\in U\) gilt. Insbesondere gilt \(u,v\in U\cap V\).
Unsere Vermutung ist also, dass \(\ker (f)=\{(x,-x)|x\in U\cap V\}\). Die Hin-richtung haben wir oben als Überlegung bereits getan, und die Rückrichtung (jedes Element dieser Menge hat \(h(x,-x)=0\)) ist klar. Bemerke, dass \(h(x,-x)\) wohldefiniert ist nur in dem Fall, in dem \(x\) sowohl in \(U\) als auch in \(V\) liegt.
Jetzt müssen wir nurnoch einen Isomorphismus \(\Phi:U\cap V\longrightarrow \ker (f)\) finden. Die Abbildung \(\Phi(x)=(x,-x)\) erfüllt ganz klar den Job, da sie offensichtlich surjektiv ist (im Prinzip ist \(\ker(f)\) in der Art, wie ich es beschrieben habe, quasi definiert als das Bild dieser Abbildung) und auch klar injektiv, da \((x,-x)=(0,0)\) nur gelten kann, wenn \(x=0\).
Bonus: Die zwei Abbildungen hier passen in eine kurze exakte Sequenz!
\(0\longrightarrow U\cap V\stackrel{\Phi}{\longrightarrow} U\times V \stackrel{h}{\longrightarrow} U+V \longrightarrow 0\).
Diese kurze exakte Sequenz wird dir unglaublich oft an den unerwartetsten Stellen deines Studiums begegnen. Der geübte Leser erkennt hier sogar ganz entfernt die Mayer-Vietoris-Sequenz, die man im dritten Studienjahr kennenlernt, wenn man sich mit Topologie beschäftigt!
