Gibt es eine lineare Abbildung g：R^3 → R^2, die U als Kern hat?

Question

wie kann man das folgende Problem lösen?

In dem Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) sei der Unterraum \( U \) gegeben, der von den beiden Vektoren
$$ \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right) \text { und }\left(\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ -27 \end{array}\right) $$
erzeugt wird.

Gibt es auch eine lineare Abbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \) die \( U \) als Kern hat? Die Antwort ist ebenfalls zu begründen.

Ich denke es hat mit dem Rangsatz bzw. Dimensionsatz zu tun, aber ich weiß nicht genaz, wie ich diese prüfen soll.

In diesem Fall ist dim(A)＝ 3 und dim(kern(A))＝2 und das habe ich schon verstanden.

Wie soll ich jetzt weiter gehen?

Ich hoffe auf Ihre Antwort.

Answer 1

Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der

Vektoren einer Basis des Startraumes festgelegt.

Also definierst du schon mal:  Die Bilder der gegebenen beiden

Vektoren sind jeweils der Nullvektor.

Dann ergänze die beiden zu einer Basis von R^3 , etwa durch

-1
97
25

(Das ist das Kreuzprodukt der beiden, bildet mit denen zusammen

also eine Basis von R^3. Und für diesen definiert du als Bild

irgendwas vom Nullvektor verschiedenes, etwa

1
0

Damit hast du eine Möglichkeit für so eine lineare Abbildung.

Und es ist dim(Bild(f))=1 und dim(Kern(f)=2 und

der Startraum hat dim=3. Passt also.

Comments

Ich habe noch eine Frage.

wie kommt es dieses Bild "1 0" voraus?

Wenn Sie mir eine Nebenrechnung geben, wäre es schön.

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Du musst nur einen nehmen, der von 0 verschieden

ist. Hättest auch

1
1

oder

0
1

oder sowas nehmen können.

Damit erklärt sich auch: "gibt es eine ..."

es gibt ganz viele.