Zu jedem normierten Polynom P ∈ K[X] existiert eine K -lineare Abbildung f: K^{n} → K^{n}

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper. Zeigen Sie: Zu jedem normierten Polynom \( P \in K[X] \) existiert eine \( K \)-lineare Abbildung \( f: K^{n} \rightarrow K^{n} \) mit \( n=\operatorname{deg}(P) \), deren charakteristisches Polynom \( (-1)^{n} P \) ist.

Hinweis: Zu einem gegebenem Polynom \( X^{n}+\beta_{n-1} X^{n-1}+\ldots+\beta_{1} X+\beta_{0} \) tragen Sie die \( \beta_{i} \) in die letzte Spalte eines \( A \in \operatorname{Mat}_{n, n}(K) \) ein; nun bestimmen Sie die übrigen Einträge von \( A \) in geeigneter Weise.

Problem/Ansatz:

Hallo ich sitze schon eine weile an der aufgabe und bin ein bisschen Ratlos wo ich anfangen soll. Ein kleiner Denkanstoß würde mir schon reichen, vielen Dank!

Comments

Vielleicht hilt das hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Begleitmatrix.