Additionstheorem Sinus kosinus

Question

Hallo, könnte mir jemand bei der b helfen? Die a habe ich bereits gelöst.

Danke im Voraus

Text erkannt:

a) Drücke Sinus und Kosinus mit der komplexen Exponentialfunktion aus.
b) Leite mit dieser Darstellung folgende Additionstheoreme für Sinus und Kosinus her:
i) \( \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1 \)
ii) \( \sin (x+y)=\sin (x) \cos (y)+\sin (y) \cos (x) \)
iii) \( \cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y) \)

Answer 1

Es gilt

SIN(x) = (EXP(i·x) - EXP(- i·x))/(2·i)

COS(x) = (EXP(i·x) + EXP(- i·x))/2

Nutze das jetzt in den Formeln um Sinus und Kosinus zu ersetzen und vereinfache dann den Term. Ich mache das mal für i) vor.

i)

SIN²(x) + COS²(x) 
= ((EXP(i·x) - EXP(- i·x))/(2·i))^2 + ((EXP(i·x) + EXP(- i·x))/2)^2
= (EXP(i·2·x) - 2 + EXP(- i·2·x))/(- 4) + (EXP(i·2·x) + 2 + EXP(- i·2·x))/4
= (- EXP(i·2·x) + 2 - EXP(- i·2·x))/4 + (EXP(i·2·x) + 2 + EXP(- i·2·x))/4
= (- EXP(i·2·x) + 2 - EXP(- i·2·x) + EXP(i·2·x) + 2 + EXP(- i·2·x))/4
= 4/4
= 1

Ist das so klar?