Parallelogramm. Flächeninhalt auf 2 Arten berechnen. Additionstheorem für sinus zeigen.

Question

Ich komm bei dieser Aufgabe einfach gar nicht voran. Könnt ihr mir helfen?

Comments

kann mir jemand diese Lösung erklären?

A=a*h_a=a*b*sin(π-(α+β))=a*b*sin(α+β)

A=(e₁+e₂)*h_e

e₁=cos(β)*a

e₂=cos(α)*b

h_e=sin(α)*b=sin(β)*a ---> b=sin(β)*a/sin(α)

---> A=(cos(β)*a+cos(α)*b)*sin(α)*b=a*b*sin(α+β)

--->(cos(β)*a+cos(α)*b)*sin(α)=a*sin(α+β)

Ersetze b durch sin(β)*a/sin(α):

--->(cos(β)*a+cos(α)*sin(β)*a/sin(α))*sin(α)

=(cos(β)*sin(α)+cos(α)*sin(β))*a=a*sin(α+β)

sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)=sin(α+β)

Die Lösung gehört zu dieser Aufgabe

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EDIT: Duplikat hierhin umgeleitet. Bitte jeweils bei den ursprünglichen Fragen nachfragen.

Answer 1

A=a*h_a=a*b*sin(π-(α+β))=a*b*sin(α+β)

A=(e₁+e₂)*h_e

e₁=cos(β)*a

e₂=cos(α)*b

h_e=sin(α)*b=sin(β)*a ---> b=sin(β)*a/sin(α)

---> A=(cos(β)*a+cos(α)*b)*sin(α)*b=a*b*sin(α+β)

--->(cos(β)*a+cos(α)*b)*sin(α)=a*sin(α+β)

Ersetze b durch sin(β)*a/sin(α):

--->(cos(β)*a+cos(α)*sin(β)*a/sin(α))*sin(α)

=(cos(β)*sin(α)+cos(α)*sin(β))*a=a*sin(α+β)

sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)=sin(α+β)

Answer 2

A=a*h_a            steht in der Aufgabe.

=a*b*sin(π-(α+β)) wegen h_a = b*sin(π-(α+β) siehe Skizze zur Aufgabe.

=a*b*sin(α+β) wegen sin(π-(α+β) = sin(α+β) (Eigenschaft des sin)

A=(e₁+e₂)*h_e Zwei Dreiecksflächen mit der gemeinsamen Grundseitee₁+e₂  und der gleichen Höhe h_e.

e₁=cos(β)*a    Definition des cos

e₂=cos(α)*b    Definition des cos

h_e=sin(α)*b     sinα=h_e/a nach h_e umgestellt

=sin(β)*a          sinβ=h_e/b nach h_e umgestellt

b=sin(β)*a/sin(α) Die Darstellungen von h_e gleichgesetzt und nach b aufgelöst

---> A=(cos(β)*a+cos(α)*b)*sin(α)*b wegen cosβ = e₁/a und cosα = e₂/b und e = e₁+e₂ und A=e·h_e

=a*b*sin(α+β) siehe 3. Zeile

(cos(β)*a+cos(α)*b)*sin(α)=a*sin(α+β) Anfang der vorletzten Zeile und Schluss der letzten Zeile sind gleich. Dann wir durch b geteilt.

Ersetze b durch sin(β)*a/sin(α): Siehe Zeile 11

(cos(β)*a+cos(α)*sin(β)*a/sin(α))*sin(α) = a·sin(α+β)  rechte Seite fehlte hier.

=(cos(β)*sin(α)+cos(α)*sin(β))*a=a*sin(α+β)                 a ausgeklammert, sinα reinmultipliziert

sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)=sin(α+β) dividiert durch a

Comments

Ich versteh irgendwie nicht, wie ha= b*sin (alpha *beta) sein kann

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"Ich versteh irgendwie nicht, wie ha= b*sin (alpha *beta) sein kann:"

Ich nehme an, du beziehst dich auf die zweite Zeile. Dort ist der Malpunkt zwischen den Winkeln allerdings ein Pluszeichen und das a auf der linken Seite kein Faktor sondern ein Index (tiefgestellt): .h_a= b*sin (α +β). Als Begründung hatte ich angegeben, dass das eine Eigenschaft des sin ist. Diese lautet genauer: sin(x) =sin(π-x). Das steht sicher auch in deiner Formelsammlung. Wenn du für x = α +β setzt, hast du, was gebraucht wird.

Nebenbei: Mitten in der Nacht kapiere ich auch keine Mathematik. Im übrigen lässt sich dieser umständliche Beweis auch wesentlich kürzer und klarer führen.