Mit Additionstheorem Ableitung zeigen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei

f(x) = sin^2(x) + cos(2x).

a.) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme:

f'(x) = −2 sin(x) cos(x).

b.) Bestimmen Sie alle x ∈ (0, 2π), so dass der Graph von f in (x, f(x)) eine waagerechte
Tangente besitzt. Geben Sie die Funktionswerte f(x) für diese x an.

Problem/Ansatz:

Leider bin ich mit dieser Aufgabe überfordert. Mir sind die Theoreme zwar ein Begriff, allerdings weiß ich nicht, was hier zu tun ist.

Danke vorab für jede Hilfe!

Answer 1

\(\sin^2(x)+\cos(2x)=\cos^2(x)\)

\(\left [ \cos^2(x)\right ]'= 2\cos(x)\cdot \left [ \cos(x)\right]'=-2\sin(x)\cos(x)\)

b) waagerechte Tangente heißt Steigung =0, also 1. Ableitung nullsetzen.

Answer 2

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme

Du hast \(f(x)=\sin^2(x)+\cos(2x)\)

Es gilt \(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\), weshalb:$$f(x)=\cos^2(x)$$ Du leitest nun mit der Kettenregel ab, wobei \(g=\cos(x)\) - daraus ergibt sich:$$\Longleftrightarrow \quad \frac{\text{d}}{\text{dg}}(g^2)\cdot \frac{\text{d}}{\text{dx}}(\cos(x))$$$$ \Longleftrightarrow \quad 2g\cdot (-\sin(x))$$ Wodurch du letztendlich auf folgendes kommst$$f'(x)=2\cos(x)\cdot (-\sin(x))$$$$f'(x)=-2\cos(x)\sin(x)$$b) Bestimmen Sie alle x ∈ (0, 2π), so dass der Graph von f in (x, f(x)) eine waagerechte
Tangente besitzt. Geben Sie die Funktionswerte f(x) für diese x an.

Setze die erste Ableitung gleich 0:$$-2\cos(x)\sin(x)=0 \quad |:(-2)$$$$\cos(x)\sin(x)=0$$ Nach dem Satz vom Nullprodukt unterteilst Du nun in verschieden Fälle und löst \(\sin(x)=0\) und \(\cos(x)=0\) unabhängig voneinander und bestimmst die Vereinigung!

Kontrollergebnis:  \(x=\frac{k\pi}{2}\) mit \(k\in\mathbb{Z}\)

Answer 3

Setze ein  cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

[ die Formel bekommst du mit dem Add.theorem in

der Form cos( x + x ) = .   ]

und du hast f(x) = cos^2(x)

Das gibt mit Kettenregel f ' (x) =  -2 * sin(x) * cos(x)

waagerechte Tangente:   sin(x) = 0 oder cos(x) = 0